同济六版高等数学(上)期中测试题55232

《同济六版高等数学(上)期中测试题55232》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、《高等数学》第一学期期中测试题一、选择题（单项选择每题 3 分，共 15 分）（1）设函数f(x )在区间[a,b ]上有定义, 在(a,b )内可导, 则(). A、当f(a)f(b)<0时, 存在xÎ(a,b), 使f(x)=0. B、对任何xÎ(a,b), 有lim[f(x)-f(x)]=0. x®xC、当f(a)=f(b)时, 存在xÎ(a,b), 使f¢(x)=0. D、存在xÎ(a,b), 使f(a)-f(b)=f¢(x)(b-a). （2）下列极限不存在的是（）。121x -3 x +1 1A、l

2、im2x B、lim x sinC、lim D、lim arctanx®+¥x®0x x®¥x x®+0x ìf (x )ï,x ¹0 （3）函数F(x )=íx 其中f (x )在x =0处可导,且f¢(0)¹0,ïîf (0 ),x =0 .f(0)=0, 则x =0是F(x )的()。A、连续点B、第一类间断点C、第二类间断点D、以上都不是f(x)-f(a )（4）设lim=-1 , 则在x=a处(). 2x®a(x-a)A 、f(x )在x=a处的导数存在, 且f¢(a)¹0B、f(x )取得极大值C、

3、f(x )取得极小值D、f(x )的导数不存在x 22（5）当x ®0时，若e -(ax +bx +1 )是比x 高阶的无穷小，则a,b 的值为（）。11A、,1B、1，1 C、-,1D、-1,1 22二、填空题（每题 3 分，共 15 分）f ( x +2 h ) -f ( x -h ) 00（1）已知函数f (x )在x 处可导，且lim =2，则f¢(x )=()。00h®0sin h 2ax ìsin 2 x +e -1 ï,x ¹0 （2）f (x )=íx 在(-¥,+¥)内连续，则a =（）。ïî

4、a ,x =0 .x +y dy（3）设函数y=f (x )是由方程e -y sinx =0 确定，则=（）。dx x（4）f(x)=esinx的 3 阶带皮亚诺余项的麦克劳林公式是：（）。1 (n)(5)设f ( x ) =，f (x )=（）。22 x -x -1 三、求解下列各题（每小题 5分，共 30分）1arctan x -x æ1 -xötanx 11x （1）lim ，（2）limç÷(3)lim(sin+cos )x®0ln(1 +2 x 3)x ®0è1 +x øx ®¥xx x sinx （

5、4）y=arctane +x, 求dy。22（5）设f (x ) 二阶可导, y=f ( x ) , 求y¢¢。ìx =arctantdy (6)）设函数y (x )由方程组í确定，求。2t î2y -ty +e =5dx 四、22 （1）（7 分）在第I象限内作4x+y=1的切线，使其与两坐标轴所构成的三角形面积最小，求切点的坐标。(2)（7 分）设f (x )在(-¥,+¥)内有定义，且满足f(x +y )=f (x )f (y )，又设f ¢(0 )=1 ，求f (x )的表达式。五、（7+7）证明下列各

6、题：（1）设0

7、）=，（4）x+x+x+o(x)dx (y -1 )sin x 3nn+1(n)( -1 ) n ! 1 2 （5）f ( x ) =[ -] n+1n+13 ( x -1 ) ( 2 x +1 ) x1-2e sinx sin x 三．（1）-（2）e （3）e （4）y ¢=+x ×(cos x ×ln x +) 6 2x x 2 x ( 1 +e ) 2222222222（5）y¢=4xf (x )f ¢(x )，y¢¢=4f (x )f ¢(x )+8 x ( f ¢(x )) +8 x f (x )f

8、 ¢¢(x ). 2t2dy (y -e )(1 +t )（6）=dx 2 (1 -yt )22 四．(1)(,)42 x (2)f(x )=e ，（先求导）五. (1)左边用中值定理,，右边用单调性证明ab (2)可证更一般的结论：+=a+b,a>0,b >0.f¢(x)f¢(h)a先用介值定理, $xÎ(0,1),f(x )=，再在区间[0,x],[x ,1]上分别用 Lagran