同济六版高等数学下册

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1、1一、偏导数的定义及其计算存在，则称此极限为函数在点处对的偏导数，记为如果，§2.偏导数2记为，或34偏导函数简称为偏导数.偏导函数:5偏导数的概念可以推广到二元以上函数如在处6解1先求后代解2先代后求7例3：设，求.解：方法一方法二8证原结论成立．9解10不存在．11解12证注：请同学们把上述结果与一元函数导数的相应结果作一个比较.13有关偏导数的几点说明：１、２、求分段点、不连续点处的偏导数要用定义求；解14例8解15按定义可知：16３、偏导数存在与连续的关系？但函数在该点处并不连续.偏导数存在连续一元函数中在某点

2、可导连续，多元函数中在某点偏导数存在连续，17是曲线在点M0处的切线对x轴的斜率.在点M0处的切线斜率.是曲线对y轴的4、偏导数的几何意义18几何意义:19如图TxTy20例9求曲线在点(2,1,3)处的切线与正向y轴所成的倾角是多少?解：设所求的倾角为21混合偏导数定义：二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.二、高阶偏导数三阶偏导数：22解23解注意:此处但这一结论并不总成立.24例12设,求解例13设求解25证毕．解26问题：混合偏导数都相等吗？例15解27按定义可知：28问题：具备怎样的条件才能使混合偏导数相等

3、？则定理.例如,对三元函数u=f(x,y,z),说明:本定理对n元函数的高阶混合导数也成立.函数在其定义区域内是连续的,故求初等函数的高阶导数可以选择方便的求导顺序.因为初等函数的偏导数仍为初等函数,当三阶混合偏导数在点(x,y,z)连续时,有而初等(证明略)29例16设方程确定u是x,y的函数,连续,且求解:30偏导数的定义偏导数的计算、偏导数的几何意义高阶偏导数（偏增量比的极限）（混合偏导相等的条件）小结思考题31思考题解答不能.例如,32作业P681（4）,（6）,（8）；3；5；6（3）；7；8；9（2）33练

4、习题343536练习题答案373839若若40若若41故若若42若若43故C练习题：45解：46例设解：不存在注：对于这样的函数，一般在求特殊点的偏导数时要按照定义去求。47解：48解：49xzy0由一元函数导数的几何意义：z=f(x,y)L：L=tany=y0同理，MTx固定y=y050M由一元函数导数的几何意义：z=f(x,y)L=tanx=x0固定x=x0TxTy.xzy051定理.证:令则则又令52同样在点连续,得