应用三角换元法解高考最值问题

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1、·解题方法·数学通讯—2014年第1期(下半月)29应用三角换元法解高考最值问题于志洪(江苏省泰州市森南新村15栋103室，225300)三角代换法是一种用三角函数代替问题中的字试题精致小巧，能较好地考查学生的数学思维水平，母，然后利用三角函数之间的关系而达到解题目的笔者仅介绍一种三角代换法．22一种换元方法．此法应用广泛，本文仅就这种方法在222y15y解由于4x+xy+y=1，4x+xy++求解最值问题中的应用，精选部分数学高考题为例16162说明如下．=1，即(2x+y)2+15y=1．令2x+y=cosθ，槡15例1(2013年宁镇杨三市高考

2、二模试题)4164441若不等式槡x+槡y≤k槡2x+y，对任意正实数x，y=sinθ，则y=sinθ，2x=cosθ－sinθ．从而y成立，求k的最小值．槡15槡1514分析本题已知条件是不等式，常规解法是通2x+y=cosθ－sinθ+sinθ=过不等式来推导求解k的最小值．但如果通过变形槡15槡15后利用三角函数换元，就简便多了．槡15cosθ+3sinθ=槡24×(槡15cosθ+3sinθ)=解在题设不等式两边同除以槡y，得槡15槡15槡24槡24x+1≤k2x+1①槡24sin(θ+φ)≤槡24=2槡10．槡y槡y槡15槡155x=1ta

3、nθ(0＜θ＜π)，则x=1tan2(其中设φ∈(0，π)，且sinφ=槡15=槡10)令θ，槡y槡22y22槡24412k1代入①得tanθ+1≤k槡tanθ+1，化简得cosθ≥当sinθ=cosφ=槡6，cosθ=sinφ=槡10，即当x槡2槡244sinθ1·cosθ+1，即k≥sinθ+cosθ．=槡10，y=槡10时取最大值．槡21051122又sinθ+cosθ=()+1sin(θ+φ)=故2x+y的最大值是2槡10．槡2槡槡25点评第一步配方很关键，接下来根据结构特槡6sin(θ+φ)，这里的φ由tanφ=槡2(φ为锐角)确2征采用三

4、角换元顺利解决问题．定．例3(2012年浙江省数学高考文科试题)若π1sinθ+正数x，y满足x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是易知当sin(θ+φ)=1，即θ+φ=时，2槡2()槡62428cosθ有最大值．A．B．C．5D．6255槡6，即k的最小值是槡6．分析本题考查要求层次提升，“所求结论”并于是k≥22非“题设中的一部分”，但比较容易找寻到“所求结例2(2011年浙江省高考理科第16题)论”与“题设条件”间的关系，只要稍作“变换”与22设x，y为实数，若4x+xy+y=1，则2x+y的“变形”，便能“透过现象看本质，吹尽黄沙见真金”，

5、最大值是．31先还“x+3y=5xy这一假面具”为“真面目+=分析该题条件以二次方程的形式给出，求一5x5y次式的最值，入口较宽，可以从多个角度进行思考，1”，从而将“看似极其陌生的、并不多见的问题”一30数学通讯—2014年第1期(下半月)·解题方法·22举转化而化归为“实际上非常熟悉的、较为常见的联想到三角公式secθ－tanθ=1，不妨设1－z=22问题”，只需运用“三角换元”(因为sinθ+cosθ=xsecθ，y=xtanθ，从而将多元函数式xy+2xz转化为1)求解就简便多了．三角函数求最大值．2231解由已知可得0＜x，y，z＜1，且(

6、1－z)－y解由x+3y=5xy，得+=1．又x＞0，y＞5x5yπ2=x，令1－z=xsecθ，y=xtanθ，θ∈(0，)．因为－32320，可令=cosθ(θ为锐角)，则x=2，y=5x5cosθ2－sinθ2＜0，所以xy+2xz=xtanθ+2x(1－xsecθ)=191419cosθ，因此3x+4y=·+·=·2225sinθ5cosθ5sinθ52－sinθ22cosθ2－sinθ－(x－x)=－(x－cos2θ+sin2θ4cos2θ+sin2θ94cosθ2－sinθcosθ2+·=tanθ+·22cosθ5sinθ55cosθ2c

7、osθcosθ)+≤．2－sinθ2－sinθ2－sinθ11392411312132+5≥25tanθ·5·2+5=5+5=cosθ2tanθ槡tanθ令t=，则槡t+1sin(θ+φ)=2t(φ为2－sinθ92412225，当且仅当tanθ=·2，tanθ=即sinθ=55tanθ3221，于是t≤槡3．辅助角)．所以

8、2t

9、≤槡t+1，t≤332222cosθ时，“=”成立．由sinθ+cosθ=1得3槡3，等号当且仅当x=槡3，θ=π所以xy+2xz≤即x2322336cosθ=，sinθ=，55槡311=，y=，z=时成立．故xy+2xz

10、的最大值为1333即当x=1，y=时，3x+4y取到最小值5．故选2槡3．C．3例4(2008年高考重庆卷)