换元法解无理方程

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1、肀膁薀螇膂莆蒆螆羂腿蒁螅肄蒅螀螄膇芇蚆螄艿蒃薂螃羈芆蒈袂肁蒁莄袁膃芄蚃袀袃葿蕿衿肅节薅袈膇薈蒁袈芀莁蝿袇罿膃蚅袆肂荿薁羅膄膂蒇羄袄莇莃羃羆膀蚂羂膈莅蚈羂芁芈薄羁羀蒄蒀羀肃芇螈罿膅蒂蚄肈芇芅薀肇羇蒀蒆蚄聿芃莂蚃芁葿螁蚂羁莁蚇蚁肃薇薃蚀膆莀葿蚀芈膃螈虿羈莈蚄螈肀膁薀螇膂莆蒆螆羂腿蒁螅肄蒅螀螄膇芇蚆螄艿蒃薂螃羈芆蒈袂肁蒁莄袁膃芄蚃袀袃葿蕿衿肅节薅袈膇薈蒁袈芀莁蝿袇罿膃蚅袆肂荿薁羅膄膂蒇羄袄莇莃羃羆膀蚂羂膈莅蚈羂芁芈薄羁羀蒄蒀羀肃芇螈罿膅蒂蚄肈芇芅薀肇羇蒀蒆蚄聿芃莂蚃芁葿螁蚂羁莁蚇蚁肃薇薃蚀膆莀葿蚀芈膃螈虿羈莈蚄螈肀膁薀螇膂莆蒆螆羂腿蒁螅肄蒅螀

2、螄膇芇蚆螄艿蒃薂螃羈芆蒈袂肁蒁莄袁膃芄蚃袀袃葿蕿衿肅节薅袈膇薈蒁袈芀莁蝿袇罿膃蚅袆肂荿薁羅膄膂蒇羄袄莇莃羃羆膀蚂羂膈莅蚈羂芁芈薄羁羀蒄蒀羀肃芇螈罿膅蒂蚄肈芇芅薀肇羇蒀蒆蚄聿芃莂蚃芁葿螁蚂羁莁蚇蚁肃薇薃蚀膆莀葿蚀芈膃螈虿羈莈蚄螈肀膁薀螇膂莆蒆螆羂腿蒁螅肄蒅螀螄膇芇蚆螄艿蒃薂螃羈芆蒈袂肁蒁莄袁膃芄蚃27.4换元法解无理方程多稼中学朱佳美2004年9月29日教学目标：1、通过探索换元法解无理方程的原理，让学生理解换元法解无理方程的基本方法，以提高学生的观察力和代数变形能力，帮助学生初步形成数学化归思想。2、激发学生对解无理方程的求知欲；培养学

3、生克服困难、不断探索新知的学习态度。教学重点：探索换元法解无理方程教学难点：通过代数变形合理设元化简无理方程教学过程一、引入我们前面学习了无理方程以及无理方程的解法：两边乘方法。试一试,你会解方程2x2+x-52x2+x=6吗?学生讨论：用两边乘方法解此题会出现一元四次方程，不易解。试寻找其它方法。解：(1).设2x2+x=y(2).设2x2+x=y则原方程可以化为：则原方程可以化为：y2–5y–6=0y–5y=6学生讨论：哪种方法好？第一种好，它把无理方程转化成有理方程，体现了无理方程有理化的思想。二、新课（一）换元法解无理方程很好,

4、这种方法帮助我们把原来的无理方程化简成了有理方程.这种设辅助元化简无理方程的方法叫做换元法——换元法解无理方程（课题）.解方程y2–5y–6=0，得y1=6,y2=-1当y1=6时,2x2+x=6两边平方得2x2+x=36.即2x2+x–36=092解得x1=-,x2=4.当y1=-1时,2x2+x=-1.∵2x2+x的值不可能为负.第4页,共4页∴方程2x2+x=-1无解92检验：当x1=-时，左边=6，右边=6，∴左边=右边，92∴x=-是原方程的解当x2=4时，左边=6，右边=6，∴左边=右边，∴x=4是原方程的解92∴原方程的根

5、是x1=-,x2=4学生归纳换元法解无理方程的步骤：1.整理方程，找到适当的代数式设元，把原方程转换成关于辅助元的有理方程2.解关于辅助元的有理方程（检验辅助元）3.把求出的有理方程的根代入设，解出原方程的根4.检验写答案问：换元的标准是什么？（以根号为标准）（二）、针对训练：利用换元法将下列方程化简：必做题：1.x2+3x-5x2+3x+6+10=0x2+3x+6-5x2+3x+6+4=0设x2+3+6=y，则原方程可化为：y2–5y+4=02.3x2+6x–2x2+2x=13(x2+2x)–2x2+2x=1设x2+2x=y，则原方程

6、可化为：3y2–2y=13.(x–3)2+x2–6x+16=13x2–6x+9+x2–6x+16=13x2–6x+16+x2–6x+16=20设x2–6x+16=y，则原方程可化为：y2+y=20x-8xxx-84.+3=43yxx-8设=y，则原方程可化为：y+=4第4页,共4页选做题：1.3x2+15x+2x2+5x+1=23(x2+5x+1–1)+2x2+5x+1=2设x2+5x+1=y，则原方程可化为：3y2+2y–5=02.3x2–2x2–4x+7=12x–133x2+12x+21–2x2–4x+7=8设x2–4x+7=y，则

7、原方程可化为：3y2-2y–8=03.x2+3x–1=2x2+6x+12x2+6x–2=22x2+6x+12x2+6x+1–3=22x2+6x+1设2x2+6x+1=y,则原方程可化为：y2-3=2y3xx2-3x31x524.+-=52x2-33x3xx2-3+=1y523xx2-3设=y，则原方程可化为：y+=问：换元法的关键是什么？（合理设元）思考题：94xx4x+9321.1+-2=324x4x+94x+94x-=321y4x+94x设=y，则原方程可化为：y-=2.x+1+2x+2=22+3(1+2)x+1=(1+2)2x+1

8、=1+23.已知关于X的方程x2+2x+2x2+2x+2p–p2=0。(其中p是实数)(1).若方程没有实数根，求p的范围。(2).若p>0，问p为何值时，方程只有一个实数根，并求出这个根。解：(1).x2