利用换元法解一元高次方程

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1、利用换元法解一元高次方程在初中数学竞赛中，常常会出现一些高次方程求解问题，解这类问题的核心思想是降次，而换元法是其最主要的方法，所谓换元法，是指把方程中某些代数式用新的变量代替，使方程的次数降低，从而化难为易，使问题得以解决，这里举例说明如下．一、直接换元例1解方程：(x＋1)(x＋2)(x＋3)(x＋4)＝24．分析与解∵（x＋1）（x＋4)＝x2＋5x＋4，（x＋2）(x＋3)＝x2＋5x＋6，设t＝x2＋5x＋4，则可将原方程转化为关于t的一元二次方程t(t＋2)＝24．即t2＋2t－24＝0，（t－4)(

2、t＋6)＝0，∴t＝4．t＝－6．当t＝4时，x2＋5x＝0，∴x＝0，或x＝－5；当t＝－6时，x2＋5x＋10＝0，此方程无解．故原方程的解为x＝0，或x＝－5．二、均值换元即求出几个代数式的平均值，利用平均值进行代换．例2解方程：(4x＋1)(3x＋1)(2x＋1)（x＋1)＝3x4．分析与解根据上面的经验，这样的方程左边是不能完全展开的，只能部分展开．∵(4x＋1)(x＋1)＝4x2＋5x＋1，(3x＋1)(2x＋1)＝6x2＋5x＋1，两个代数式有相同的一次项和常数项，故设t＝5x2＋5x＋1，则原方程

3、可化为（t－x2）（t＋x2）＝3x4．∴t2＝4x4，t＝2x2或t＝－2x2，代回即可求得原方程的根为：x＝．注当然本题也可以直接设t＝4x2＋5x＋1或者t＝6x2＋5x＋1．例3解方程：(x＋2)4＋(x－4)4＝272．分析与解若将方程左边展开，将得到难解的高次方程．注意到[(x＋2)＋(x－4)]＝x－1，3故可设y＝x－1，则原方程可化为(y＋3)4＋(y－3)4＝272，即y4＋54y2－55＝(y2－1)(y2＋55)＝0，∴y＝±1．∴x－1＝±1，∴x＝0或2．三、双变量换元例4解方程：(4

4、x2－9)2＋(4x2－9)(9x2－4)＋(9x2－4)2＝(13x2－13)2．分析与解注意到(4x2－9)＋(9x2－4)＝13x2－13，设m＝4x2－9，n＝9x2－4．则原方程可化为m2＋mn＋n2＝(m＋n)2，即mn＝0，则有（4x2－9）（9x2－4）＝0，解得x＝±，±．注用换元法解方程，有时引入的新变量可以不止一个，如本题中引入了m，n．在例1中，如果注意到(x＋1)(x＋4)－（x＋2）（x＋3)＝－2，还可以设m＝（x＋1）（x＋4），n＝－(x＋2)（x＋3），则有由韦达定理可知m，n

5、是方程z2－2z－24＝0的根，求解这个方程即可以得到原方程的根（过程略）．四、倒数换元形如ax4＋bx3＋cx2＋bx＋a＝0（a≠0）的倒数方程可以两边同除以x2，降次换元．例5解方程：12x4－56x3＋89x2－56x＋12＝0．分析与解直接因式分解比较困难，容易发现该方程是倒数方程（与首尾等距离的项的系数相等）．又因为x＝0不是方程的根，所以两边同时除以x2，得3五、常值换元将某一常值看作未知数，原来的未知数当成常数，则可以把高次方程转化为低次方程．例6解方程：．分析与解这是关于x的三次方程，直接解这个

6、方程有一定困难，如果把看成未知数，则原方程可化为求解高次方程的方法还有很多，需要我们在平时的学习过程中，不断整理，不断总结，逐步深化，灵活运用．3