综合 解一元二次方程—换元法

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1、2.2.5《解一元二次方程—换元法》典例解析与同步训练【知识要点】1、解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理．2、我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现．把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次

2、的目的．【典例解析】例1．用适当方法解下列方程：（1）2x2﹣5x﹣3=0（2）16（x+5）2﹣9=0（3）（x2+x）2+（x2+x）=6．例题分析：本题考查了一元二次方程的几种解法：①公式法；②直接开平方法；③换元法（1）用公式法解一元二次方程，先找a，b，c；再求△；再代入公式求解即可；（2）用直接开平方法解一元二次方程，先将方程化为（x+5）2=，直接开方即可；（3）设t=x2+x，将原方程转化为一元二次方程，求解即可．解：（1）∵a=2，b=﹣5，c=﹣3，△=b2﹣4ac=（﹣5）2﹣4×2×（﹣3）=2

3、5+24=49，∴x===，∴x1=3，x2=﹣；（2）整理得，（x+5）2=，开方得，x+5=±，即x1=﹣4，x2=﹣5，（3）设t=x2+x，将原方程转化为t2+t=6，因式分解得，（t﹣2）（t+3）=0，解得t1=2，t2=﹣3．∴x2+x=2或x2+x=﹣3（△＜0，无解），∴原方程的解为x1=1，x2=﹣2．例2．解方程：（1）（x+3）（x﹣1）=5（2）．例题分析：本题主要考查了解一元二次方程的方法和解分式方程．解一元二次方程时，要注意选择合适的解题方法，这样才会达到事半功倍的效果．还要注意换元思想的

4、应用．（1）先去括号，将方程化为一般式，然后再运用二次三项式的因式分解法进行求解．（2）先设x2﹣x=y，采用换元法，然后解方程即可．解：（1）x2+2x﹣8=0，（x+4）（x﹣2）=0∴x1=﹣4，x2=2．（2）设x2﹣x=y∴原方程化为y﹣=1∴y2﹣2=y∴y2﹣y﹣2=0∴（y+1）（y﹣2）=0∴y1=﹣1，y2=2∴x2﹣x=﹣1或x2﹣x=2解x2﹣x=﹣1知：此方程无实数根．解x2﹣x=2知x1=2，x2=﹣1；∴原方程的解为：x1=2，x2=﹣1．例3．解下列方程：（1）2x2+5x﹣3=0（2）

5、（3﹣x）2+x2=9（3）2（x﹣3）2=x（x﹣3）（4）（x﹣1）2﹣5（x﹣1）+6=0例题分析：本题考查了解一元二次方程的方法，当把方程通过移项把等式的右边化为0后，方程的左边能因式分解时，一般情况下是把左边的式子因式分解，再利用积为0的式子的特点解出方程的根．因式分解法是解一元二次方程的一种简便方法，要会灵活运用．　（1）方程左边可以利用十字相乘法进行因式分解，因此应用因式分解法解答．（2）先移项，然后把x2﹣9因式分解为（x+3）（x﹣3），然后再提取公因式，因式分解即可．（3）先移项，然后用提取公因式法

6、对左边进行因式分解即可．（4）把（x﹣1）看作是一个整体，然后套用公式a2±2ab+b2=（a±b）2，进行进一步分解，故用因式分解法解答．解：（1）因式分解，得（2x﹣1）（x+3）=0，所以2x﹣1=0或x+3=0，解得，x=或x=﹣3；（2）移项得，（3﹣x）2+x2﹣9=0，变形得，（x﹣3）2+（x+3）（x﹣3）=0，因式分解，得（x﹣3）[（x﹣3）+（x+3）]=0，解得，x=3或x=0；（3）移项得，2（x﹣3）2﹣x（x﹣3）=0，因式分解得，（x﹣3）[2（x﹣3）﹣x]=0，解得x=3或x=6；

7、（4）化简得：（x﹣1﹣2）（x﹣1﹣3）=0即（x﹣3）（x﹣4）=0解得x=3或x=4．例4．阅读下面材料：解答问题为解方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4=0，我们可以将（x2﹣1）看作一个整体，然后设x2﹣1=y，那么原方程可化为y2﹣5y+4=0，解得y1=1，y2=4．当y=1时，x2﹣1=1，∴x2=2，∴x=±；当y=4时，x2﹣1=4，∴x2=5，∴x=±，故原方程的解为x1=，x2=﹣，x3=，x4=﹣．上述解题方法叫做换元法；请利用换元法解方程．（x2﹣x）2﹣4（x2﹣x）﹣12=0．例题分析

8、：此题考查了学生学以致用的能力，解题的关键是掌握换元思想．　先把x2﹣x看作一个整体，设x2﹣x=y，代入得到新方程y2﹣4y﹣12=0，利用求根公式可以求解．解：设x2﹣x=y，那么原方程可化为y2﹣4y﹣12=0（2分）解得y1=6，y2=﹣2（4分）当y=6时，x2﹣x=6即x2﹣x﹣6=0∴x1=3，x2=﹣2（6分）当y