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1、集合与常用逻辑用语L前言:基本概念、公式及方法是数学解题的基础工具和基本技能,为此务必首先要掌握高中数学中的概念、公式及基本解题方法,其次要熟悉一些基本题型,明确解题中的易误点,还应了解一些常用结论,最后还要掌握一些的应试技巧.本资料对高中数学所涉及到的概念、公式、常见题型、常用方法和结论及解题中的易误点,进行了系统的整理,最后阐述了考试中的一些常用技巧.1.集合元素具有确定性、无序性和互异性.在求有关集合问题时,尤其要注意元素的互异性.典例:(1)设P、Q为两个非空实数集合,定义集合P+Q=,若,则P+Q中元素的有8个.(2)设,,,那么点的充要条件是(3)非空集合,且满足“若
2、,则”,这样的共有7个.2.遇到时,你是否注意到“极端”情况:或同样当时,你是否忘记的情形?要注意到是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集.典例:集合,,且,则实数＝.3.对于含有个元素的有限集合,其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为典例:满足集合M有7个.4.集合的运算性质:(1);(2)(3)(4);(5);⑹;⑺.典例:设全集,若,,,则A＝,B＝.5.研究集合问题,一定要理解集合的意义—抓住集合的代表元素.如表示函数的定义域,表示函数的值域,表示函数图象上的点集.典例:(1)设集合,集合N＝,则.(2)设,,则.6.数轴和韦恩图是进行交、并、补运算的有力工具
3、,在具体计算时不要忘了集合本身和空集这两种特殊情况,补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题.典例:已知函数在区间上至少存在一个实数,使,求实数的取值范围（答:）7.复合命题真假的判断.“或命题”的真假特点是“一真即真,要假全假”“且命题”的真假特点是“一假即假,要真全真”“非命题”的真假特点是“真假相反”.典例:在下列说法中:⑴“且”为真是“或”为真的充分不必要条件;⑵“且”为假是“或”为真的充分不必要条件⑶“或”为真是“非”为假的必要不充分条件⑷“非”为真是“且”为假的必要不充分条件.其中正确的是⑴⑶.8.四种命题及其相互关系.若原命题是“若p则q”,则逆命题为“若q
4、则p”否命题为第1页共2页“若﹁p则﹁q”逆否命题为“若﹁q则﹁p”.提醒:（1）互为逆否关系的命题是等价命题,即原命题与逆否命题同真、同假逆命题与否命题同真同假.但原命题与逆命题、否命题都不等价（2）在写出一个含有“或”、“且”命题的否命题时,要注意“非或即且,非且即或”（3）要注意区别“否命题”与“命题的否定”:否命题要对命题的条件和结论都否定,而命题的否定仅对命题的结论否定（4）对于条件或结论是不等关系或否定式的命题,一般利用等价关系“”判断其真假,这也是反证法的理论依据.（5）哪些命题宜用反证法?典例:(1)“在△ABC中,若∠C=900,则∠A、∠B都是锐角”的否命题为
5、（答:在中,若,则不都是锐角）(2)已知函数,证明方程没有负数根.9.充要条件.关键是分清条件和结论（划主谓宾）,由条件可推出结论,条件是结论成立的充分条件;由结论可推出条件,则条件是结论成立的必要条件.从集合角度解释,若,则A是B的充分条件;若,则A是B的必要条件;若A=B,则A是B的充要条件.典例:(1)给出下列命题:①实数是直线与平行的充要条件;②若是成立的充要条件;③已知,“若,则或”的逆否命题是“若或则”④“若和都是偶数,则是偶数”的否命题是假命题.其中正确命题的序号是①④.(2)设命题p:命题q:.若┐p是┐q的必要而不充分的条件,则实数a的取值范围是.10.简单的逻
6、辑联结词(1)“或”在数学中的含义是“至少有一个…”,有生活中“和”的意思,但后者只是前者的一层含义.“且”在数学中的含义是“同时…”,相当于“和”的意思.“非”在数学中的含义是“全盘否定…”,常见的逻辑否定形式如下表所示.正面词语都是至少有1个至多有1个至少有n个全否定词语不都是一个也没有至少有2个至多有n-1个不全(2)复合命题真假判断:或记作:,有真则真;且记作:,有假则假;非记作:,与真假互反.典例:判断命题真假:①.(真命题);②.(真命题)(3)全称量词与存在量词.全称量词:“所有的”、“任意一个”、“一切”、“每一个”等短语;存在量词:“存在一个”、“至少一个”、“
7、有些”、“有一个”等短语;全称命题则.特称命题则.典例:已知命题“,使”为真命题,则实数取值范围是.(2)命题方程有两个不等正根;方程无实根,则使为真命题,为假命题的实数取值范围是.第1页共2页
