2018年洛阳市高三期中考试理数答案

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1、洛阳市２０１７———２０１８学年高中三年级期中考试数学试卷参考答案（理）一、选择题ＣＡＢＢＤＤＢＡＣＡＣＢ二、填空题π４９１３．８１４．－１５．１６．｛狓狓＜２０１６或狓＞２０１８｝２３２三、解答题１７．（１）∵犪珗·犫珗＝（ｓｉｎ狓，－槡３）·（１，ｃｏｓ狓）＝０，……１分即ｓｉｎ狓－槡３ｃｏｓ狓＝０∴ｔａｎ狓＝槡３，……３分２ｔａｎ狓∴ｔａｎ２狓＝２＝－槡３．……５分１－ｔａｎ狓（２）由（１）得犳（狓）＝２ｓｉｎ（狓－π），从而犵（狓）＝２ｓｉｎ（２狓＋π）．……６分３３解２犽π－π≤２狓＋π≤２犽π

2、＋π得犽π－５π≤狓≤犽π＋π（犽∈犣），２３２１２１２５ππ∴犵（狓）的单调增区间是［犽π－，犽π＋］（犽∈犣），……８分１２１２由２狓＋π＝犽π得狓＝１犽π－π（犽∈犣），即函数狔＝犵（狓）图象的对称中心为３２６１π（犽π－，０）（犽∈犣）．……１０分２６１８．（１）由已知易得犪狀≠０，由犪狀犪狀＋１＋狀犪狀＋１＝２（狀＋１）犪狀，狀２（狀＋１）得１＋＝，即２犫狀＋１＝犫狀＋１；……２分犪狀犪狀＋１１∴犫狀＋１－１＝（犫狀－１），２１１又犫狀－１＝－１＝－，犪１２１１∴｛犫狀－１｝是以－为首项，以为公

3、比的等比数列．……４分２２从而犫（－１）·（１）狀－１＝－（１）狀狀－１＝２２２狀即狀＝１－（１）狀，整理得犪狀·２．狀＝狀犪狀２２－１狀狀·２即数列｛犪狀｝的通项公式为犪狀＝狀．……７分２－１（２）∵犫（１）狀狀＝１－２狀１２１∴犮狀＝＝狀＝１＋狀……９分１－（１）狀２－１２－１２１１１１∴犛狀＝狀＋＋２＋３＋…＋狀２－１２－１２－１２－１１１１１≤狀＋０＋１＋２＋…＋狀－１……１０分２２２２高三数学答案（理）第１页（共３页）（２０１７．１０）１＝狀＋２－狀－１２＜狀＋２．……１２分ｓｉｎ犃ｓｉｎ犆１９

4、．（１）由２ｃｏｓ犃ｃｏｓ犆（ｔａｎ犃ｔａｎ犆－１）＝１，得２ｃｏｓ犃ｃｏｓ犆（ｃｏｓ犃ｃｏｓ犆－１）＝１，……１分１∴２（ｓｉｎ犃ｓｉｎ犆－ｃｏｓ犃ｃｏｓ犆）＝１，∴ｃｏｓ（犃＋犆）＝－，……３分２１∴ｃｏｓ犅＝，……４分２又０＜犅＜π，∴犅＝π．……５分３（２）在Δ犃犅犇中由余弦定理得犮２＝１＋（犫）２－２·１·犫ｃｏｓ∠犃犇犅，２２在Δ犆犅犇中由余弦定理得犪２＝１＋（犫）２－２·１·犫ｃｏｓ∠犆犇犅，……７分２２２２２二式相加得犪２＋犮２＝２＋犫＝２＋犪＋犮－２犪犮ｃｏｓ犅，２２整理得犪２２＋犮＝４

5、－犪犮，……９分∵犪２＋犮２≥２犪犮，∴犪犮≤４，……１０分３所以Δ犃犅犆的面积犛＝１犪犮ｓｉｎ犅≤１·４·槡３＝槡３．２２３２３２３当且仅当犪＝犮＝槡时“＝”成立，３槡３∴△犃犅犆面积的最大值为．……１２分３２狓，２０．（１）∵犳（狓）＝（狓＋犿狓＋狀）犲狓２狓２狓∴犳′（狓）＝（２狓＋犿）犲＋（狓＋犿狓＋狀）犲＝［狓＋（２＋犿）狓＋（犿＋狀）］犲．犳′（－３）＝０９－３（犿＋２）＋（犿＋狀）＝０犿＝１由｛知｛，解得｛……２分犳′（０）＝０犿＋狀＝０狀＝－１从而犳（狓）＝（狓２狓，∴犳′（狓）＝（狓２狓

6、＋狓－１）犲＋３狓）犲．所以犳（１）＝ｅ，∴犳′（１）＝４ｅ，……４分曲线狔＝犳（狓）在点（１，犳（１））处的切线方程为狔－ｅ＝４ｅ（狓－１），即狔＝４犲狓－３ｅ．……５分（２）由于犲狓＞０，当狓变化时，犳′（狓），犳（狓）的变化情况如下表：狓（－∞，－３）－３（－３，０）０（０，＋∞）犳′（狓）＋０－０＋犳（狓）单调递增极大值单调递减极小值单调递增故犳（狓）的单调增区间是（－∞，－３），（０，＋∞），单调减区间是（－３，０），……９分（３）由于犳（２）＝５ｅ２，犳（０）＝－１，犳（－２）＝ｅ－２，所以函

7、数犳（狓）在区间［－２，２］上的最大值为５ｅ２，最小值为－１．……１２分２１．（１）由犃犇⊥犆犇，犃犅∥犆犇，犃犇＝犃犅＝１，可得犅犇＝槡２，又犅犆＝槡２，∠犅犇犆＝π，∴犅犆⊥犅犇，……２分４高三数学答案（理）第２页（共３页）（２０１７．１０）从而犆犇＝２，∵犘犇⊥底面犃犅犆犇，∴犅犆⊥犘Ｄ．……４分∵犘犇∩犅犇＝犇，∴犅犆⊥平面犘犅犇，所以平面犘犅犇⊥平面犘犅Ｃ．……５分（２）由（１）可知∠犅犘犆为犘犆与底面犘犅犇所成的角．６所以ｔａｎ∠犅犘犆＝槡，所以犘犅＝槡３，犘犇＝１，……６分３又２犆犎→＝３

8、犎犇→及犆犇＝２，可得犆犎＝６，犇犎＝４．……７分５５以犇点为坐标原点，犇犃，犇犆，犇犘分别狓，狔，狕轴建立空间直角坐标系，４则犅（１，１，０），犘（０，０，１），犆（０，２，０），犎（０，，０）．……８分５设平面犎犘犅的法向量为狀珗＝（狓，狔，狕），→烄４狀珗·犎犘＝０－狔＋狕＝０则由｛→得烅５，取狀珗＝（１，－５，－４），……９分狀珗·犘犅＝０烆狓＋狔－狕＝０同理平面犘犅犆的法向量为犿珤＝（１，１，２）．……１０分所