2019年山东省济南市历城区中考数学一模试卷 解析版

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2019年山东省济南市历城区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分）1．（4分）﹣2的相反数是（　　）A．B．﹣C．2D．﹣22．（4分）如图所示几何体的左视图是（　　）A．B．C．D．3．（4分）2018年莱芜划归济南后，济南市辖10区2县，面积10244平方公里．区域范围内人口870万，870用科学记数法可以表示为（　　）A．0.87×103B．87×101C．8.7×102D．8.7×1064．（4分）下列计算正确的是（　　）A．x2+x3＝x5B．x2•x3＝x6C．x6÷x3＝x3D．（x3）2＝x95．（4分）下列图形中，是中心对称图形的是（　　）A．B．C．D．6．（4分）如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，∠1＝30°，∠2＝50°，则∠3的度数等于（　　） A．20°B．30°C．50°D．80°7．（4分）在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的15名运动员的成绩如下表所示：成绩/m1.501.601.651.701.751.80人数232341则这些运动员成绩的中位数、众数分别为（　　）A．1.70，1.75B．1.70，1.70C．1.65，1.75D．1.65，1.708．（4分）如图已知函数y＝x+1和y＝ax+3的图象交于点P，点P的横坐标为1，则关于x，y的方程组的解是（　　）A．B．C．D．9．（4分）如图，BD是菱形ABCD的对角线，CE⊥AB交于点E，交BD于点F，且点E是AB中点，则cos∠BFE的值是（　　）A．B．C．D．10．（4分）如图，已知▱AOBC的顶点O（0，0），A（﹣1，2），点B在x轴正半轴上按以下步骤作图：①以点O为圆心，适当长度为半径作弧，分别交边OA，OB于点D，E；②分别以点D，E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点F；③作射线OF，交边AC于点G，则点G的坐标为（　　） A．（﹣1，2）B．（，2）C．（3﹣，2）D．（﹣2，2）11．（4分）如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D是AB上的一个动点（不与点A，B重合），连接CD，将CD绕点C顺时针旋转90°得到CE，连接DE，DE与AC相交于点F，连接AE，若，AD＝2BD，则CF等于（　　）A．B．C．D．12．（4分）如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，对称轴为x＝，且经过点（2，0）．下列说法：①abc＜0；②﹣2b+c＝0；③4a+2b+c＜0；④若（﹣，y1），（，y2）是抛物线上的两点，则y1＜y2；⑤a+b＞m（am+b）（其中m≠）．其中说法正确的是（　　）A．①②④⑤B．③④C．①③D．①②⑤二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）13．（4分）分解因式：a2+2a+1＝　　．14．（4分）如图是测量河宽的示意图，AE与BC相交于点D，∠B＝∠C＝90°，测得BD＝120m，DC＝60m，EC＝50m，求得河宽AB＝　　m． 15．（4分）若关于x的方程x2+bx+1＝0的一个根是2，则它的另一个根为　　．16．（4分）一个不透明的盒子里装有120个红、黄两种颜色的小球，这些球除颜色外其他完全相同，每次摸球前先将盒子里的球摇匀任意摸出一个球记下颜包后再放回盒子，通过大量重复摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在0.4，那么估计盒子中红球的个数为　　．17．（4分）如图，在扇形OEF中，∠EOF＝90°，半径为2，正方形ABCD的顶点C是的中点，点D在OF上，点A在OF的延长线上，则图中阴影部分的面积为　　．18．（4分）如图，在矩形ABCD中，AB＝9，点E，F分别在BC，CD上，将△ABE沿AE折叠，使点B落在AC上的点B′处，又将△CEF沿EF折叠，使点C落在直线EB′与AD的交点C′处，DF＝　　．三、解答题（本大题共9小题，共50分）19．（6分）先化简，再求值（a+2）（a﹣2）﹣a（a﹣5b），其中a＝2，b＝﹣1．20．（6分）解不等式组：．21．（6分）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O的一条直线分别交AD，BC于点E，F．求证：AE＝CF． 22．（8分）为传承优秀传统文化，某校为各班购进《三国演义》和《水浒传》若干本，其中每本《三国演义》的价格比每本《水浒传》的价格贵6元，用480元购买《水浒传》本数是用360元购买《三国演义》本数的2倍，求每本《水浒传》的价格．23．（8分）如图，BE是O的直径，点A和点D是⊙O上的两点，过点A作⊙O的切线交BE延长线于点C．（1）若∠ADE＝25°，求∠C的度数；（2）若AB＝AC，CE＝2，求⊙O半径的长．24．（10分）某校在一次大课间活动中，采用了三种活动形式：A跑步，B跳绳，C做操，该校学生都选择了一种形式参与活动．（1）小杰对同学们选用的活动形式进行了随机抽样调查，根据调查统计结果，列出了两幅不完整的统计图，利用图中所提供的信息解决以下问题：①小杰共调查统计了　　人；②请将图1补充完整；③图2中C所占的圆心角的度数是　　；（2）假设被调查的甲、乙两名同学对这三项活动的选择是等可能的，请你用列表格或画树状图的方法求一下两人中至少有一个选择“A”的概率．25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A在y轴上，C在x 轴上，把矩形OABC沿对角线AC所在的直线翻折，点B恰好落在反比例函数y＝（k≠0）的图象上的点B′处，CB′与y轴交于点D，已知DB′＝2，∠ACB＝30°．（1）求∠B'CO的度数；（2）求反比例函数y＝（k≠0）的函数表达式；（3）若Q是反比例函数y＝（k≠0）图象上的一点，在坐标轴上是否存在点P，使以P，Q，C，D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．26．（12分）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC．点D、E分别在AC、BC边上，DC＝EC，连接DE、AE、BD．点M、N、P分别是AE、BD、AB的中点，连接PM、PN、MN．（1）PM与BE的数量关系是　　，BE与MN的数量关系是　　．（2）将△DEC绕点C逆时针旋转到如图2的位置，判断（1）中BE与MN的数量关系结论是否仍然成立，如果成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由；（3）若CB＝6．CE＝2，在将图1中的△DEC绕点C逆时针旋转一周的过程中，当B、E、D三点在一条直线上时，求MN的长度．27．（12分）如图，已知：抛物线y＝a（x+1）（x﹣3）交x轴于A、C两点，交y轴于B．且OB＝2CO． （1）求点A、B、C的坐标及二次函数解析式；（2）在直线AB上方的抛物线上有动点E，作EG⊥x轴交x轴于点G，交AB于点M，作EF⊥AB于点F．若点M的横坐标为m，求线段EF的最大值．（3）抛物线对称轴上是否存在点P使得△ABP为直角三角形，若存在请直接写出点P的坐标；若不存在请说明理由． 2019年山东省济南市历城区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分）1．（4分）﹣2的相反数是（　　）A．B．﹣C．2D．﹣2【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数．【解答】解：﹣2的相反数是2，故选：C．【点评】本题考查了相反数，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数．2．（4分）如图所示几何体的左视图是（　　）A．B．C．D．【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．【解答】解：观察发现：其左视图应该为矩形，为了表示中间凹的部分，应该用虚线，故选：B．【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图．3．（4分）2018年莱芜划归济南后，济南市辖10区2县，面积10244平方公里．区域范围内人口870万，870用科学记数法可以表示为（　　）A．0.87×103B．87×101C．8.7×102D．8.7×106【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，据此判断即可． 【解答】解：870＝8.7×102．故选：C．【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，确定a与n的值是解题的关键．4．（4分）下列计算正确的是（　　）A．x2+x3＝x5B．x2•x3＝x6C．x6÷x3＝x3D．（x3）2＝x9【分析】根据同底数幂的乘法底数不变指数相加；同底数幂的除法底数不变指数相减；幂的乘方底数不变指数相乘；可得答案．【解答】解：A、不是同底数幂的乘法指数不能相加，故A错误；B、同底数幂的乘法底数不变指数相加，故B错误；C、同底数幂的除法底数不变指数相减，故C正确；D、幂的乘方底数不变指数相乘，故D错误；故选：C．【点评】本题考查了同底数幂的除法，熟记法则并根据法则计算是解题关键．5．（4分）下列图形中，是中心对称图形的是（　　）A．B．C．D．【分析】根据中心对称图形的概念即可求解．【解答】解：A、不是中心对称图形，不符合题意；B、不是中心对称图形，不符合题意；C、不是中心对称图形，不符合题意；D、是中心对称图形，符合题意．故选：D．【点评】本题考查了中心对称的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合，难度一般． 6．（4分）如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，∠1＝30°，∠2＝50°，则∠3的度数等于（　　）A．20°B．30°C．50°D．80°【分析】根据平行线的性质求出∠4，根据三角形的外角的性质计算即可．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠4＝∠2＝50°，∴∠3＝∠4﹣∠1＝20°，故选：A．【点评】本题考查的是平行线的性质，三角形的外角的性质，掌握两直线平行，内错角相等是解题的关键．7．（4分）在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的15名运动员的成绩如下表所示：成绩/m1.501.601.651.701.751.80人数232341则这些运动员成绩的中位数、众数分别为（　　）A．1.70，1.75B．1.70，1.70C．1.65，1.75D．1.65，1.70【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．【解答】解：共15名学生，中位数落在第8名学生处，第8名学生的跳高成绩为1.70m，故中位数为1.70；跳高成绩为1.75m的人数最多，故跳高成绩的众数为1.75；故选：A．【点评】 本题为统计题，考查众数与中位数的意义．众数是一组数据中出现次数最多的数．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．8．（4分）如图已知函数y＝x+1和y＝ax+3的图象交于点P，点P的横坐标为1，则关于x，y的方程组的解是（　　）A．B．C．D．【分析】利用y＝x+1确定交点坐标，然后根据方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标求解．【解答】解：当x＝1时，y＝x+1＝2，即两直线的交点坐标为（1，2），所以关于x，y的方程组的解为．故选：C．【点评】本题考查了一次函数与二元一次方程（组）：方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．9．（4分）如图，BD是菱形ABCD的对角线，CE⊥AB交于点E，交BD于点F，且点E是AB中点，则cos∠BFE的值是（　　）A．B．C．D．【分析】首先利用菱形的性质得出AB＝BC，由三角函数得出得出∠ABC＝60°，求出∠BFE＝60°，再利用三角函数得出答案．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，∵CE⊥AB，点E是AB中点， ∴BE＝AB＝BC，∴cos∠ABC＝，∴∠ABC＝60°，∴∠EBF＝30°，∴∠BFE＝60°，∴cos∠BFE＝．故选：D．【点评】此题考查菱形的性质以及三角函数，关键是根据含30°的直角三角形的性质和三角函数解答．10．（4分）如图，已知▱AOBC的顶点O（0，0），A（﹣1，2），点B在x轴正半轴上按以下步骤作图：①以点O为圆心，适当长度为半径作弧，分别交边OA，OB于点D，E；②分别以点D，E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点F；③作射线OF，交边AC于点G，则点G的坐标为（　　）A．（﹣1，2）B．（，2）C．（3﹣，2）D．（﹣2，2）【分析】依据勾股定理即可得到Rt△AOH中，AO＝，依据∠AGO＝∠AOG，即可得到AG＝AO＝，进而得出HG＝﹣1，可得G（﹣1，2）．【解答】解：∵▱AOBC的顶点O（0，0），A（﹣1，2），∴AH＝1，HO＝2，∴Rt△AOH中，AO＝，由题可得，OF平分∠AOB，∴∠AOG＝∠EOG，又∵AG∥OE，∴∠AGO＝∠EOG，∴∠AGO＝∠AOG， ∴AG＝AO＝，∴HG＝﹣1，∴G（﹣1，2），故选：A．【点评】本题主要考查了角平分线的作法，勾股定理以及平行四边形的性质的运用，解题时注意：求图形中一些点的坐标时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律．11．（4分）如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D是AB上的一个动点（不与点A，B重合），连接CD，将CD绕点C顺时针旋转90°得到CE，连接DE，DE与AC相交于点F，连接AE，若，AD＝2BD，则CF等于（　　）A．B．C．D．【分析】先求出BC＝AC＝3，再求出BD＝，进而求出CE＝CD＝，再证明CE2＝CF•AC即可解决问题．【解答】解：∵∠ACB＝90°，由旋转知，CD＝CE，∠DCE＝90°＝∠ACB，∴∠BCD＝∠ACE，∴△BCD≌△ACE，∴∠CAE＝∠CBD＝45°＝∠CEF，∵∠ECF＝∠ACE，∴△CEF∽△CAE，∴＝， ∴CE2＝CF•AC，如图，过点D作DG⊥BC于G，∵AB＝3，∴AC＝BC＝3，∵AD＝2BD，∴BD＝AB＝，∴DG＝BG＝1，∴CG＝BC﹣BG＝3﹣1＝2，在Rt△CDG中，根据勾股定理得，CD＝＝，∵△BCD≌△ACE，∴CE＝CD＝，∵CE2＝CF•AC，∴CF＝＝，故选：B．【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，判断出△BCD≌△ACE是解本题的关键．12．（4分）如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，对称轴为x＝，且经过点（2，0）．下列说法：①abc＜0；②﹣2b+c＝0；③4a+2b+c＜0；④若（﹣，y1），（，y2）是抛物线上的两点，则y1＜y2；⑤a+b＞m（am+b）（其中m≠）．其中说法正确的是（　　） A．①②④⑤B．③④C．①③D．①②⑤【分析】根据抛物线开口方向得到a＜0，根据抛物线的对称轴得b＝﹣a＞0，则2a﹣b＝0，根据抛物线与y轴的交点在x轴上方得到c＞0，则abc＜0，于是可对①进行判断；根据对称轴和一个与x轴的交点，求得另一个交点，由根与系数的关系即可得出c＝﹣2a，则得到﹣2b+c＝0，于是可对②进行判断；由于经过点（2，0），则得到4a+2b+c＝0，则可对③进行判断；通过点（﹣，y1）和点（，y2）离对称轴的远近对④进行判断；根据抛物线的对称轴为直线x＝，开口向下，得到当x＝时，y有最大值，所以a+b＞m（am+b）（其中m≠），则可对⑤进行判断．【解答】解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线对称轴为直线x＝﹣＝，∴b＝﹣a＞0，∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c＞0，∴abc＜0，所以①正确；∵对称轴为x＝，且经过点（2，0），∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣1，0），∴＝﹣1×2＝﹣2，∴c＝﹣2a，∴﹣2b+c＝2a﹣2a＝0，所以②正确；∵抛物线经过点（2，0）∴x＝2时，y＝0， ∴4a+2b+c＝0，所以③错误；∵点（﹣，y1）离对称轴要比点（，y2）离对称轴要远，∴y1＜y2，所以④正确．∵抛物线的对称轴为直线x＝，∴当x＝时，y有最大值，∴a+b+c＞am2+bm+c（其中m≠），∴a+b＞m（am+b）（其中m≠），所以⑤正确；故选：A．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）．抛物线与y轴交于（0，c）．抛物线与x轴交点个数：△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）13．（4分）分解因式：a2+2a+1＝　（a+1）2　．【分析】符合完全平方公式的结构特点，利用完全平方公式分解因式即可．【解答】解：a2+2a+1＝（a+1）2．【点评】本题主要考查利用完全平方公式分解因式，熟记公式结构是解题的关键．14．（4分）如图是测量河宽的示意图，AE与BC相交于点D，∠B＝∠C＝90°，测得BD＝120m，DC＝60m，EC＝50m，求得河宽AB＝　100　m．【分析】由两角对应相等可得△BAD∽△CED ，利用对应边成比例可得两岸间的大致距离AB．【解答】解：∵∠ADB＝∠EDC，∠ABC＝∠ECD＝90°，∴△ABD∽△ECD，∴，，解得：AB＝（米）．故答案为：100．【点评】此题主要考查了相似三角形的应用；用到的知识点为：两角对应相等的两三角形相似；相似三角形的对应边成比例．15．（4分）若关于x的方程x2+bx+1＝0的一个根是2，则它的另一个根为　　．【分析】先设出方程的另一个根，根据两根的积与系数的关系，得方程求解即可．【解答】解：设方程的另一个根为α，根据根与系数的关系得2α＝1，解得α＝．故答案为：．【点评】本题考查了根与系数的关系．解决本题亦可把一个根代入，求出b，解关于x的方程，得另一个根．16．（4分）一个不透明的盒子里装有120个红、黄两种颜色的小球，这些球除颜色外其他完全相同，每次摸球前先将盒子里的球摇匀任意摸出一个球记下颜包后再放回盒子，通过大量重复摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在0.4，那么估计盒子中红球的个数为　72　．【分析】根据利用频率估计概率得摸到黄球的频率稳定在0.4，进而可估计摸到黄球的概率，根据概率公式列方程求解可得．【解答】解：设盒子中红球的个数为x，根据题意，得：＝0.4，解得：x＝72，即盒子中红球的个数为72，故答案为：72．【点评】 本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率．17．（4分）如图，在扇形OEF中，∠EOF＝90°，半径为2，正方形ABCD的顶点C是的中点，点D在OF上，点A在OF的延长线上，则图中阴影部分的面积为　π﹣1　．【分析】连结OC，根据勾股定理可求OC的长，根据题意可得出阴影部分的面积＝扇形FOC的面积﹣三角形ODC的面积，依此列式计算即可求解．【解答】解：如图，连接OC．∵在扇形AOB中∠EOF＝90°，正方形ABCD的顶点C是的中点，∴∠COF＝45°，∴OC＝CD＝2，∴OD＝CD＝，∴阴影部分的面积＝扇形FOC的面积﹣三角形ODC的面积＝×π×22﹣×（）2＝π﹣1．故答案为：π﹣1．【点评】本题考查了正方形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质和判定，扇形面积的计算，解题的关键是学会用分割法求阴影部分的面积．18．（4分）如图，在矩形ABCD中，AB＝9，点E，F分别在BC，CD上，将△ABE沿AE折叠，使点B落在AC上的点B′处，又将△CEF沿EF折叠，使点C落在直线EB′与 AD的交点C′处，DF＝　12　．【分析】首先连接CC′，可以得到CC′是∠EC′D的平分线，所以CB′＝CD，又AB′＝AB，所以B′是对角线中点，AC＝2AB，所以∠ACB＝30°，即可得出答案．【解答】解：连接CC′，∵将△ABE沿AE折叠，使点B落在AC上的点B′处，又将△CEF沿EF折叠，使点C落在EB′与AD的交点C′处．∴EC＝EC′，∴∠1＝∠2，∵∠3＝∠2，∴∠1＝∠3，在△CC′B′与△CC′D中，，∴△CC′B′≌△CC′D（AAS），∴CB′＝CD，又∵AB′＝AB，∴AB′＝CB′，所以B′是对角线AC中点，即AC＝2AB＝18，所以∠ACB＝30°，∴∠BAC＝60°，∠ACC′＝∠DCC′＝30°，∴∠DC′C＝∠1＝60°，∴∠DC′F＝∠FC′C＝30°，∴C′F＝CF＝2DF，∵DF+CF＝CD＝AB＝9，∴DF＝12． 故答案为：12．【点评】此题主要考查了翻折变换的性质和角平分线的判定与性质，解答此题要抓住折叠前后的图形全等的性质，得出CC′是∠EC′D的平分线是解题关键．三、解答题（本大题共9小题，共50分）19．（6分）先化简，再求值（a+2）（a﹣2）﹣a（a﹣5b），其中a＝2，b＝﹣1．【分析】原式利用平方差公式，以及单项式乘以多项式法则计算得到最简结果，把a与b的值代入计算即可求出值．【解答】解：原式＝a2﹣4﹣a2+5ab＝5ab﹣4，当a＝2，b＝﹣1时，原式＝﹣10﹣4＝﹣14．【点评】此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．20．（6分）解不等式组：．【分析】分别求出每个不等式的解集，再根据口诀即可确定不等式组的解集．【解答】解：解不等式2x+1＞x﹣1，得：x＞﹣2，解不等式x﹣1≤（2x﹣1），得：x≤2，则不等式组的解集为﹣2＜x≤2．【点评】本题主要考查解一元一次不等式组，解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分．21．（6分）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O的一条直线分别交AD，BC于点E，F．求证：AE＝CF．【分析】利用平行四边形的性质得出AO＝CO，AD∥BC，进而得出∠EAC＝∠FCO，再利用ASA求出△AOE≌△COF，即可得出答案． 【解答】证明：∵▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，∴AO＝CO，AD∥BC，∴∠EAC＝∠FCO，在△AOE和△COF中，∴△AOE≌△COF（ASA），∴AE＝CF．【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及平行四边形的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键．22．（8分）为传承优秀传统文化，某校为各班购进《三国演义》和《水浒传》若干本，其中每本《三国演义》的价格比每本《水浒传》的价格贵6元，用480元购买《水浒传》本数是用360元购买《三国演义》本数的2倍，求每本《水浒传》的价格．【分析】设每本《水浒传》的价格为x元，则每本《三国演义》的价格为（x+6）元，根据数量＝总价÷单价结合用480元购买《水浒传》本数是用360元购买《三国演义》本数的2倍，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．【解答】解：设每本《水浒传》的价格为x元，则每本《三国演义》的价格为（x+6）元，依题意，得：＝2×，解得：x＝12，经检验，x＝12是原方程的解，且符合题意．答：每本《水浒传》的价格为12元．【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．23．（8分）如图，BE是O的直径，点A和点D是⊙O上的两点，过点A作⊙O的切线交BE延长线于点C．（1）若∠ADE＝25°，求∠C的度数；（2）若AB＝AC，CE＝2，求⊙O半径的长． 【分析】（1）连接OA，利用切线的性质和角之间的关系解答即可；（2）根据直角三角形的性质解答即可．【解答】解：（1）连接OA，∵AC是⊙O的切线，OA是⊙O的半径，∴OA⊥AC，∴∠OAC＝90°，∵，∠ADE＝25°，∴∠AOE＝2∠ADE＝50°，∴∠C＝90°﹣∠AOE＝90°﹣50°＝40°；（2）∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵，∴∠AOC＝2∠B，∴∠AOC＝2∠C，∵∠OAC＝90°，∴∠AOC+∠C＝90°，∴3∠C＝90°，∴∠C＝30°，∴OA＝OC，设⊙O的半径为r，∵CE＝2， ∴r＝，解得：r＝2，∴⊙O的半径为2．【点评】此题考查切线的性质，关键是根据切线的性质进行解答．24．（10分）某校在一次大课间活动中，采用了三种活动形式：A跑步，B跳绳，C做操，该校学生都选择了一种形式参与活动．（1）小杰对同学们选用的活动形式进行了随机抽样调查，根据调查统计结果，列出了两幅不完整的统计图，利用图中所提供的信息解决以下问题：①小杰共调查统计了　160　人；②请将图1补充完整；③图2中C所占的圆心角的度数是　45°　；（2）假设被调查的甲、乙两名同学对这三项活动的选择是等可能的，请你用列表格或画树状图的方法求一下两人中至少有一个选择“A”的概率．【分析】（1）①用参与B项目的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数；②用总人数乘以参加A项目的人数的百分比得到参与A项目的人数，然后补全条形统计图；③用360度乘参与C项目的百分比得到以图2中C所占的圆心角的度数；（2）画树状图展示9种等可能的结果数，找出两人中至少有一个选择“A”的结果数，然后根据概率公式求解．【解答】解：（1）①40÷25%＝160，所以小杰共调查统计了160人；②参加A项目的人数为160×62.5%＝100（人），图1补充完整为： ③图2中C所占的圆心角的度数＝360°×＝45°；故答案为160；45°；（2）画树状图为：共有9种等可能的结果数，其中两人中至少有一个选择“A”的结果数为5，所以两人中至少有一个选择“A”的概率＝．【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了统计图．25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A在y轴上，C在x轴上，把矩形OABC沿对角线AC所在的直线翻折，点B恰好落在反比例函数y＝（k≠0）的图象上的点B′处，CB′与y轴交于点D，已知DB′＝2，∠ACB＝30°．（1）求∠B'CO的度数；（2）求反比例函数y＝（k≠0）的函数表达式；（3）若Q是反比例函数y＝（k≠0）图象上的一点，在坐标轴上是否存在点P，使以P，Q，C，D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）根据∠B′CO＝90°﹣∠BCB′即可解决问题；（2）求出点B′的坐标即可解决问题；（3）分五种情形，分别画出图形解决问题即可；【解答】解：（1）∵四边形ABCO是矩形，∴∠BCO＝90°，∵∠ACB＝∠ACB′＝30°，∴∠B′CO＝90°﹣60°＝30°．（2）如图1中，作B′H⊥x轴于H．∵∠DAC＝∠DAC＝∠DAB′＝30°，∴AD＝CD＝2DB′＝4，∴CB′＝6，B′H＝3，CH＝3，CO＝2，∴OH＝，∴B′（，3），∵反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点B′，∴k＝3，∴y＝． （3）如图2中，作DQ∥x轴交y＝于Q（，2），以DQ为边构造平行四边形可得P1（﹣，0），P2（﹣，0）；如图3中，作CQ′∥OA交y＝于Q′（﹣2，﹣），以CQ′为边构造平行四边形可得P3（0，），P4（0，）；如图4中，当Q″（﹣，﹣2），以CQ″为边构造平行四边形可得P5（，0），综上所述，满足条件的点P坐标为P1（﹣，0），P2（﹣，0），P3（0，）， P4（0，），P5（，0）．【点评】本题考查反比例函数综合题、矩形的性质、翻折变换、直角三角形30度角性质、平行四边形的判定和性质、解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．26．（12分）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC．点D、E分别在AC、BC边上，DC＝EC，连接DE、AE、BD．点M、N、P分别是AE、BD、AB的中点，连接PM、PN、MN．（1）PM与BE的数量关系是　PM＝BE　，BE与MN的数量关系是　BE＝MN　．（2）将△DEC绕点C逆时针旋转到如图2的位置，判断（1）中BE与MN的数量关系结论是否仍然成立，如果成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由；（3）若CB＝6．CE＝2，在将图1中的△DEC绕点C逆时针旋转一周的过程中，当B、E、D三点在一条直线上时，求MN的长度．【分析】（1）如图1中，只要证明△PMN的等腰直角三角形，再利用三角形的中位线定理即可解决问题；（2）如图2中，结论仍然成立．连接AD、延长BE交AD于点H．由△ECB≌△DCA，推出BE＝AD，∠DAC＝∠EBC，即可推出BH⊥AD，由M、N、P分别为AE、BD、AB的中点，推出PM∥BE，PM＝BE，PN∥AD，PN＝AD，推出PM＝PN，∠MPN＝90°，可得BE＝2PM＝2×MN＝MN；（3）有两种情形分别求解即可；【解答】解：（1）如图1中， ∵AM＝ME，AP＝PB，∴PM∥BE，PM＝BE，∵BN＝DN，AP＝PB，∴PN∥AD，PN＝AD，∵AC＝BC，CD＝CE，∴AD＝BE，∴PM＝PN，∵∠ACB＝90°，∴AC⊥BC，∴∵PM∥BC，PN∥AC，∴PM⊥PN，∴△PMN的等腰直角三角形，∴MN＝PM，∴MN＝•BE，∴BE＝MN，故答案为PM＝BE，BE＝MN．（2）如图2中，结论仍然成立． 理由：连接AD、延长BE交AD于点H．∵△ABC和△CDE是等腰直角三角形，∴CD＝CE，CA＝CB，∠ACB＝∠DCE＝90°，∵∠ACB﹣∠ACE＝∠DCE﹣∠ACE，∴∠ACD＝∠ECB，∴△ECB≌△DCA，∴BE＝AD，∠DAC＝∠EBC，∵∠AHB＝180°﹣（∠HAB+∠ABH）＝180°﹣（45°+∠HAC+∠ABH）＝∠180°﹣（45°+∠HBC+∠ABH）＝180°﹣90°＝90°，∴BH⊥AD，∵M、N、P分别为AE、BD、AB的中点，∴PM∥BE，PM＝BE，PN∥AD，PN＝AD，∴PM＝PN，∠MPN＝90°，∴BE＝2PM＝2×MN＝MN．（3）①如图3中，作CG⊥BD于G，则CG＝GE＝DG＝，当D、E、B共线时，在Rt△BCG中，BG＝＝＝，∴BE＝BG﹣GE＝﹣，∴MN＝BE＝﹣1． ②如图4中，作CG⊥BD于G，则CG＝GE＝DG＝，当D、E、B共线时，在Rt△BCG中，BG＝＝＝，∴BE＝BG+GE＝+，∴MN＝BE＝+1．综上所述，MN＝﹣1或+1．【点评】本题属于几何变换综合题、考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．27．（12分）如图，已知：抛物线y＝a（x+1）（x﹣3）交x轴于A、C两点，交y轴于B．且OB＝2CO．（1）求点A、B、C的坐标及二次函数解析式；（2）在直线AB上方的抛物线上有动点E，作EG⊥x轴交x轴于点G，交AB于点M，作EF⊥AB于点F．若点M的横坐标为m，求线段EF的最大值．（3）抛物线对称轴上是否存在点P使得△ABP为直角三角形，若存在请直接写出点P的坐标；若不存在请说明理由．【分析】（1）利用待定系数法求出A、B、C的坐标即可解决问题； （2）易用m表示线段EM的长度，再求得EM和EF的长度关系，根据等角三角函数或三角形相似即可解题；（3）△ABP为直角三角形时，分别以三个顶点为直角顶点讨论：根据三角形相似和勾股定理列方程解决问题．【解答】解：（1）对于抛物线y＝a（x+1）（x﹣3），令y＝0，得到a（x+1）（x﹣3）＝0，解得x＝﹣1或3，∴C（﹣1，0），A（3，0），∴OC＝1，∵OB＝2OC＝2，∴B（0，2），把B（0，2）代入y＝a（x+1）（x﹣3）中得：2＝﹣3a，a＝﹣∴二次函数解析式为y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣++2；（2）设直线AB的解析式为：y＝kx+b，把A（3，0），B（0，2）代入得：，解得：，∴直线AB的解析式为：y＝﹣x+2，由题意可设M（m，﹣m+2），E（m，﹣m2+m+2），则EM＝﹣m2+m+2﹣（﹣m+2）＝﹣m2+2m；∵在Rt△AOB中，根据勾股定理，得AB＝＝＝，∵∠EMF+∠FEM＝∠AMG+∠BAO＝90°，∵∠AMG＝∠EMF，∴∠FEM＝∠BAO，cos∠FEM＝cos∠BAO＝，∴＝，∴EF＝＝﹣（m﹣）2+， ∴当m＝时，EF有最大值是；（3）∵A（3，0），B（0，2），∴OA＝3，OB＝2，由对称得：抛物线的对称轴是：x＝1，∴AE＝3﹣1＝2，设抛物线的对称轴与x轴相交于点E，当△ABP为直角三角形时，存在以下三种情况：①如图1，当∠BAP＝90°时，点P在AB的下方，∵∠PAE+∠BAO＝∠BAO+∠ABO＝90°，∴∠PAE＝∠ABO，∵∠AOB＝∠AEP，∴△ABO∽△PAE，∴，即，∴PE＝3，∴P（1，﹣3）；②如图2，当∠PBA＝90°时，点P在AB的上方，过P作PF⊥y轴于F，同理得：△PFB∽△BOA，∴，即，∴BF＝，∴OF＝2+＝，∴P（1，）；③如图3，以AB为直径作圆与对称轴交于P1、P2，则∠AP1B＝∠AP2B＝90°，设P1（1，y），∵AB2＝22+32＝13，由勾股定理得：AB2＝P1B2+P1A2，∴12+（y﹣2）2+（3﹣1）2+y2＝13，解得：y＝1±，∴P（1，1+）或（1，1﹣）， 综上所述，点P的坐标为（1，﹣3）或（1，）或（1，1+）或（1，1﹣）．【点评】本题考查二次函数综合题、一次函数的应用、直角三角形的性质、三角形相似的性质和判定、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用学过的知识解决问题，学会构建二次函数，利用配方法确定线段的最值，与方程相结合，并利用分类讨论的思想，属于中考压轴题．