第二章矩阵(1)

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1、第二章矩阵I重要知识点一、矩阵1、定义由mn个数a(i1,2,,m;j1,2,n)排成m行n列的数表ija11a12a1na21a22a2naaam1m2mn称为mn矩阵，简记为A(a)，当mn时，A也称为n阶方阵。ijmn2、几类特殊矩阵（1）单位矩阵：主对角线上都是1，其余全为0的方阵，记为E。（2）对角矩阵：除主对角线外其余全为0的方阵.kE叫数量矩阵。（3）三角矩阵：主对角线上（下）方全为0的方阵称为下（上）三角矩阵。上、下三角矩阵统称为三角矩阵。（4）矩阵的转置：将矩阵A(a)的行与列的元素位置交换而ijmn形

2、成的矩阵叫作T/A的转置，记为A(a)或A(a)。jinmjinmT（5）对称矩阵与反对称矩阵：设A(a)，若AA，则称A为ijnn对称矩阵，若TAA，则称A为反对称矩阵。TT（6）正交矩阵：设A(a)，若AAAAE，则称A正交矩阵。ijnn（7）可交换矩阵：设A、B是同阶方阵，且ABBA。（8）分块矩阵：用水平和竖直虚线将矩阵A中的元素分割成若干小块，而形成的以这些小块为元素的矩阵。13、矩阵的运算（1）矩阵的相等：设A(a)，B(b)，若ab（i1,2,,m，ijmnijmnijijj1,2,,n)，则称A与B相等，记为AB。（2）

3、矩阵的和与差：设A(a)，B(b)，定义ijmnijmnAB(ab)（i1,2,,m，j1,2,,n)。ijijmn（3）数乘矩阵：设A(a)，定义kA(ka)。ijmnijmn矩阵的加法和数乘运算满足下列运算规律：①交换律ABBA。②结合律(AB)CA(BC)。③分配律k(AB)kAkB，(kl)AkAlA。（4）矩阵的乘法：设A(a)，B(b)，定义AB(c)，ijmsijsnijmn其中cababab。iji11ji22jissj矩阵乘法运算满足下列运算规律：①结合律(AB)CA(BC)。②分

4、配律(AB)CACBC，C(AB)CACB。③数与乘积的结合律k(AB)A(kB)(kA)B。k（5）方阵的幂：设A(a)，定义AAAA(k个A相乘）。ijnn方阵的幂满足下列运算规律：klklklklAAA，(A)A。（6）分块矩阵的运算：同阶矩阵分块相同才可相加减，在进行分块矩阵乘法时，应当注意前一个列的分法必须与后一个2行的分法相同。二、逆矩阵1、逆矩阵的定义：设A(a)，若存在n阶方阵B，使得ABBAE，ijnn则称1A为可逆矩阵，并称B为A的逆矩阵，记BA。2、可逆矩阵的性质：（1）若1A可逆，则A唯一。（2）矩阵A可逆的充要条

5、件是A0。（3）若T1T11T11A可逆,则A,A均可逆,且有(A)(A),(A)A。（4）若A，B为同阶可逆矩阵，则AB也为可逆矩阵，且有111(AB)BA。11111（5）若A可逆,且k0，则A，(kA)A。Ak3、伴随矩阵*设A(a)，A为元素a的代数余子式，定义A(A)即：ijnnijijjinna11a12a1nA11A21An1a21a22a2n*A12A22An2A，A为A的伴随矩阵。aaaAAAn1n2nn1n2nnn4、矩阵的初等变换与

6、初等矩阵（1）矩阵的初等变换：①交换矩阵的某两行（列）；②以一个非零的数k乘矩阵的某一行（列）；3③把矩阵的某一行（列）k倍加到另一行（列）；（2）初等矩阵：对单位矩阵施行一次第i(i1,2,3)种初等变换后而得到的矩阵叫第i种初等矩阵。初等矩阵为可逆矩阵，且其逆矩阵仍为初等矩阵。即：1，111P(i,j)P(i,j)P(i(c))P(i(c))，P(i,j(k))P(i,j(k))。（3）初等矩阵与初等变换的关系：对矩阵A左（右）乘第i(i1,2,3)种初等矩阵，就相当于对A的行（列）进行了一次同种的初等变换。（4）可逆矩阵与初等矩阵的关系：任何一矩阵A总可以经

7、过有ErO限次的初等变换化为，这也称为A的等价标准形。OO矩阵A可逆A可以表示为若干个同阶初等矩阵的乘积。5、矩阵的秩及有关矩阵秩的结论（1）矩阵的秩：矩阵A的非零子式最高阶数叫矩阵A的秩，记为r(A)。由于初等变换不改变矩阵的秩，故r(A)等于A的ErO等价标准形中的r。OO（2）有关矩阵秩的重要公式与结论①TTr(A)r(A)r(AA)。②若AO，则r(A)1，只有零矩阵的秩为零。③r(AB)r(A)r(