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1、第二章矩阵练习题一.是非题1.()若方阵满足,则必有或.2.()若方阵满足(,整数),则必有.3.()若方阵,满足,则必有.4.()若方阵,,满足,且为可逆矩阵,则必有.5.()若,都是对称矩阵,则也必为对称矩阵.6.()若方阵,都可逆,则也必可逆.7.()初等矩阵的转置矩阵仍为初等矩阵.8.()若方阵有(,整数),则必有.9.()若为奇数阶的反对称矩阵,则必不可逆.二.填空题1.设矩阵,,其中,,均为列矩阵,且已知行列式,,则行列式=.2.设为阶方阵,为阶方阵,且,,,则=.3.设,,则=.4.设三阶方阵,满足,且,则=.5.设四阶方阵,则=.6.设矩阵,其中,,则=.87.设,则=.8.
2、设,其伴随矩阵为,且,则=.9.设,为4阶单位阵,且,则=.10.设,为阶方阵,且,,则=.11.已知,其中,则=.三.单项选择题1.若,,,,都是4维列向量,且四阶行列式,,则=().()()()()2.设是阶可逆矩阵,是的伴随矩阵,则=().()()()()3.已知,均为阶矩阵,则必有().()()()时,或()的充分必要条件是或4.设,为阶矩阵,满足等式,则必有().()或()()或()5.设和均为矩阵,则必有().8()()()()6.设,,,均为阶可逆矩阵,则=().()()()()7.设维行向量,矩阵,+,其中为阶单位矩阵,则=().()()()()8.设阶矩阵非奇异(),是矩阵
3、的伴随矩阵,则().()()()()9.设阶方阵,,满足关系式,其中为单位矩阵,则下列等式中正确的是().()()()()10.设()阶方阵的伴随阵为,常数,则=().()()()()四.计算题1．设为奇数阶方阵,且,又,求.2．设为n阶方阵,且,又,求.3．设,求4．已知,其中,,求,,5．设,为三阶矩阵,为阶单位矩阵,满足,又知,求矩阵.6．设矩阵,矩阵满足,其中为的伴随矩阵,求矩阵.81．设矩阵的伴随矩阵,且,求矩阵.2．已知矩阵,,且矩阵满足=,其中是3阶单位矩阵,求.3．设为四阶矩阵,，,,且,求矩阵.五.证明题1.已知阶方阵满足矩阵方程,其中给定,而是单位矩阵,证明可逆,并求出其
4、逆矩阵.2.设阶矩阵和满足条件.(1)证明为可逆矩阵,其中是阶单位矩阵;(2)已知,求矩阵.3.试证:如果与可交换,并且是可逆的,那么与也可交换.4.如果是实对称矩阵,且,证明:5.设是矩阵,如果对任一维向量都有=成立,那么.6.设阶矩阵非奇异(),是的伴随矩阵,证明:(1);(2),为常数,且;(3);(4).8答案一.是非题1.×;2.×;3.√;4.√;5.×;需要6.×;例如7.√;8.√;9.√对于阶反对称有二.填空题1.40;行列式按某列裂开2.;3.;4.;5.;利用，6.;利用7.;8.;9，，所以10.;11.三.单项选择题1.;2.;3.;4.;5.;6.;7.;8.;9
5、.;10.;四.计算题1.=========.所以.82.因为和，所以。而,所以3.设,其中.由于,所以==4.,因为所以,同理,,故.5.等价于，所以=6.由可以得到,所以7.由，得到，而有得到，所以，所以8.由题意得.由于,所以矩阵可逆,而,故..8五.证明题1.;2.1）由得到，所以可逆。2）.3.4.设,其中均为实数,且.由==.比较得,.因为均为实数,所以,故.5.设,由于对任一维向量都有,取(),8当然有.由于,,故6.(1).(2)设,,那么为行列式中划去第行和第列的代数余子式(阶行列式),若其中每行提出公因子后,有(.由此即证得.(3)(*)在(*)式两边取逆可得,.又,在(
6、*)式中,用代换,得,.由此即证得.(4)伴随矩阵的基本关系式为.现将视为关系式中的矩阵,则有,那么,由及,可得8
