巧解高考题中抛物线的焦点弦问题

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1、巧解高考题中抛物线的焦点弦问题陈小林重庆市綦江南州中学抛物线的焦点弦问题是解析几何中的一个重要问题，同时也是高考中关于抛物线问题的高频考点。解决这类问题，如果能够熟练运用本文中讨论的4条性质，就可以将很多复杂问题简单化。如图AB是抛物线过焦点的一条弦。设、，AB的中点，过A、M、B分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为A1、M1、B1。。A1A(x1,y1)M1M(x0,y0)B1B(x2,y2)F1FO一、抛物线焦点弦的4条性质性质1过焦点的弦长==。证明：根据抛物线的定义有，，故=====。性质2若直线AB的倾斜

2、角，则。证明：设直线AB的斜率为k，则直线AB的方程为：，代入得，所以，由性质1知=====性质3A、B两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值，即，。证明：当直线AB的斜率不存在时，即与x轴垂直时，，所以。当直线AB的斜率存在时，设直线AB的斜率为k，则直线AB的方程为：，代入得，所以。综述。性质4为定值。证明：当直线AB的斜率不存在时，即与x轴垂直时，，所以==。当直线AB的斜率存在时，、、，所以==由性质3知，所以=由性质1知==，所以=故。综述为定值。注意：对于焦点坐标在其它三个半轴的抛物线的性质可类比得到。二、

3、几个运用抛物线焦点弦的性质巧解高考题的实例例题1、（2010重庆（文）13）已知过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A、B两点，｜AF｜＝2，则｜BF｜＝。解：由抛物线的方程y2=4x知，由性质4知，所以，解得｜BF｜=2。例题2、(2012重庆（理）14)过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，若则=。解：方法1：设、的坐标分别为、，由抛物线的方程y2=2x知，由性质3知=令为(1)式，由性质1知==，由题设知=，所以=令为（2）式，解（1）、（2）得，所以。方法2：由抛物线的方程y2=2x知，由性质4知，所

4、以，解得｜AF｜=。例题3、（2013年高考课标Ⅱ卷（文）10）设抛物线C:y2=4x的焦点为F，直线L过F且与C交于A、B两点.若

5、AF

6、=3

7、BF

8、，则L的方程为（　　）A、y=x-1或y=-x+1B、y=(x-1)或y=(x-1)C、y=(x-1)或y=(x-1)D、y=(x-1)或y=(x-1)解：由抛物线的方程y2=4x知，由性质4知，所以，又，解得，所以。由性质2知，所以，解得，所以，故选答案C。