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时间:2019-05-19
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1、一道高考题的课堂探究性教学 在高三总复习课上,我选讲了一道高考题题目:(2013年山东高考数学理科第22题)椭圆:的左、右焦点分别是,离心率为,过且垂直于轴的直线被椭圆C截得的线段长为l. (Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)点是椭圆上除长轴端点外的任一点,连接,设的角平分线交的长轴于点,求的取值范围; (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,过点作斜率为的直线,使得与椭圆有且只有一个公共点, 设直线的斜率分别为,若,试证明为定值,并求出这个定值.解:(1)椭圆方程为:(3)由题意可知,为椭圆的在点处的切线,由导数法可求得,切线方程为:,所以,而,代入中得:为定值.当我
2、讲完这道题准备讲下一题时,我发现一名学生在下面嘀咕什么,于是我叫他起来问是不是有其他的解法,因为在班级教学中,我很重视学生的想法,并鼓励他们积极说出自己的想法.于是他说如果把上述椭圆改为双曲线时,是否也为定值呢?这时另一个同学也主动站起来说:“作为一般形式的椭圆以及双曲线,是否也为定值呢?”爱因斯坦曾说:“提出问题比解决问题更重要.”作为同学们思维智慧的火花,于是我决定不按照设计好的教学,而是改变原定计划与同学们一起来探讨这个问题.探究1:椭圆:的左、右焦点分别是,点是椭圆上除长轴端点外的任一点,连接,过点作斜率为的直线,使得与椭圆有且只有一个公共点, 设直
3、线的斜率分别为,若,试证明为定值,并求出这个定值.解:设,由导数法可求得,椭圆在点处的切线的方程为:,所以,而,代入中得:.命题1:椭圆:的左、右焦点分别是,点是椭圆上除长轴端点外的任一点,连接,过点作斜率为的直线,使得与椭圆有且只有一个公共点, 设直线的斜率分别为,若,则.探究2:双曲线:的左、右焦点分别是,点是双曲线上除长轴端点外的任一点,连接,过点作斜率为的直线,使得与双曲线有且只有一个公共点, 设直线的斜率分别为,若,试证明为定值,并求出这个定值.解:设,由导数法可求得,双曲线在点处的切线其方程为:,所以,而,代入中得:.命题2:双曲线:的左、右焦点
4、分别是,点是双曲线上除长轴端点外的任一点,连接,过点作斜率为的直线,使得与双曲线有且只有一个公共点, 设直线的斜率分别为,若,则.尽管命题1和命题2所得的结论并不是定值,但是其结果都是.探究3:圆:,点在圆上,点是圆上除外的任一点,连接,过点作斜率为的直线,使得与圆有且只有一个公共点, 设直线的斜率分别为,若,试证明为定值,并求出这个定值.解:设,由导数法可求得,圆在点处的切线其方程为:,所以,而代入中得:为定值.命题3:圆:,点在圆上,点是圆上除外的任一点,连接,过点作斜率为的直线,使得与圆有且只有一个公共点,设直线的斜率分别为,若,试证明=-2.探究4:
5、抛物线:的焦点为,点是抛物线上除顶点外的任一点,准线与横轴的交点为,连接,过点作斜率为的直线,使得与抛物线相切, 设直线的斜率分别为,若,试证明为定值,并求出这个定值.解:设,由导数法可求得,抛物线在点处的切线的斜率而,代入中得:.命题4:抛物线:的焦点为,点是抛物线上除顶点外的任一点,准线与横轴的交点为,连接,过点作斜率为的直线,使得与抛物线相切, 设直线的斜率分别为,若,则=1.特级教师任勇曾说:“他很难完成事先设计的一节课,因为总有学生在课堂上提出非常有智慧的问题,为了解答这些有智慧性的问题,他必须暂时中断正常的教学,但是也正因为此原因,学生的思维得到
6、了很好的发展.”
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