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《数值方法 第七章 函数逼近》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、第七章函数逼近§1正交多项式（I）正交多项式定义设[a,b]是有限或无限区间，如果[a,b]上函数满足如下性质：在的任一子区间上那么称为[a,b]上的权函数记 集合 为一个线性空间，即任取 则 记 为所有在 上 阶导数连续的函数全体，那么 也是线性空间。为上连续函数全体，为线性空间。设，为上的权函数称为的内积内积具有如下性质：18，等号成立充分必要条件为具有内积的线性空间称为内积空间。定理 （Gram矩阵的性质） 设V 是一个内积空间。矩阵称为Gram矩阵，G非奇异的充分必要条件是u1,u2,…,un线性无关。如果（f,g）=0，那么称与在上
2、带权函数正交。除内积外，范数是重要概念。设 ，令那么 是 上范数，对于通常用 为其范数，对于一个线性空间可构造多种范数，具有范数的线性空间 称为赋范线性空间。定义设函数序列满足那么称为正交函数序列，18特别地，为首项系数的n次多项式，如果多项式序列满足那么称多项式序列为上带权的正交多项式序列,称为上带权的ｎ次正交多项式。定义设为定义在上函数集合，如果有；那么称在上是线性无关的，反之称其为线性相关的。定理设为j次多项式，，那么是在任区间上是线性无关的。特别1，x，…，是任何区间上线性无关的。为给定区间，为上权函数，那么由可构造出正交多项式：，，
3、，这样的正交多项式具有如下性质是最高项系数为1的n次多项式任何n次多项式都可以表示为18，…，的线性组合当，递推关系，其中，，，，对于一般正交多项式，我们给出重要性质定理设是上带权的正交多项式序列，那么n次正交多项式在开区间（a,b）内恰有n个不同的实零点。证明设在内有奇数重零点，在（）处变号，令那么，在上不变号，因此如果，那么利用正交性有此式矛盾于，从而有18（II）Legendre多项式区间，权函数的正交多项式称为Legendre多项式，其表达式为，正交性奇偶性递推关系，其中（III）Chebyshev多项式区间[-1，1],权函数的正交多项
4、式称为Chebyshev多项式，其表达式为,正交性奇偶性18,递推关系,在（-1，1）内有n个不同的零点的首项系数为，（TV）Laguerre多项式区间[0，+∞]，的正交多项式称为Laguerre多项式，记为,递推关系，（V）Hermite多项式区间（-∞，∞），的正交多项式称为Hermite多项式，记为，18，，，§2最佳平方逼近（I）最佳平方逼近概念及计算设为[a,b]上的权函数，为定义在[a,b]上的实值函数，对于定义范数令。若，记为。设为上线性无关的函数，记，则取，有。 （7.1）定义7.1 设，如果存在使得(7.2)则称
5、为在中的最佳平方逼近函数。由（7.2）可以看出，求等价于求多元函数的极小值。是关于的二次函数。利用多元函数求极值的必要条件，有18即于是有(7.3)其中，。（7.3）是关于的线性方程组，称为法方程。由于在上线性无关，所以（7.3）的系数矩阵非奇异，于是（7.3）有唯一解令(7.4)下面将证明满足（7.2），即对任意有（7.5）因为为（7.3）的解，所以有。。由(7.1)知，对任意有，从而也有。因此对任意有18这就证明了(7.5)，从而证明了在中最佳平方逼近的存在唯一性。令，称为最佳平方逼近的误差，容易得到。(7.6)考虑特殊情况，权函数。对于在中
6、最佳平方逼近多项式可以表示为。相应于法方程（7.3）中系数矩阵为（7.7）其中。矩阵（7.7）称为Hilbert矩阵。由于Hilbert矩阵是病态的，因此直接从法方程来求解是相当困难的。实用的方法是采用正交函数作的基。（II）用正交函数作最佳平方逼近设是中线性无关的函数。利用Gram-Schemidt方法可以得到正交函数组，即满足令18利用（7.4）知，在中的最佳平方逼近函数为。由此得。（7.8）18§3最小二乘法由观察得的一组离散数据……数据拟合的最小二乘法是：给定函数类Ψ，在Ψ上，根据数据作出逼近曲线使得，（II）多项式拟合定义设在m+1个节
7、点上给定的离散函数，最小二乘法为求使其中为[a,b]上权函数，并假定，。称为f在m+1个节点上的最小二乘解。极小值必要条件为，18，为方便起见，1，k=0k=1…………k=n对i求和号展开有：k=0k=1……k=n令18令,那么方程组写成此方程组称为法方程，A是非奇异的，求出这是从极小值必要条件求出的。下面将证明设，，，令，18==注意到满足即特别，例012324681.12.84.97.2试求最小二乘拟合曲线解，近似直线分布。令18，，拟合曲线（直线）的平方偏差（III）指数拟合如果数据（呈现出指数函数形态的图形，这就要求具有这种性态，不妨设（
8、10）其中a,b为待定常数，直接求a,b会出现非线性方程组，求解相当困难，因此先化成线性问题。通常办法是对（10）的两边取对数此时作为线
