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1、第七章函数逼近用简单的函数p(x)近似地代替函数f(x)，是计算数学中最基本的概念和方法之一。近似代替又称为逼近，函数f(x)称为被逼近的函数，p(x)称为逼近函数，两者之差称为逼近的误差或余项在计算数学里，所谓简单的函数主要是指可以用加、减、乘、除四则运算进行计算的函数，如有理分式函数、多项式等。由于多项式最简单，计算其值只需用到加、减与乘三种运算，且求其微分和积分都很方便，所以常用它来作为逼近函数，而被逼近的函数f(x)一般是一个比较复杂的不易计算的函数或以表格形式给出的函数。第六章介绍的插值法实际上也是函数逼近的一种方法。不过，它要求函数p(x)与f(x)在节点
2、处具有相同的函数值(甚至要求有相同的导数值)，但在非节点处，p(x)虽然有可能很好地逼f(x)，但也可能使逼近f(x)的误差很大，如果实际问题要求p(x)在区间[a,b]上每一点都“很好”地逼近的话，用插值多项式p(x)去逼近f(x)有时就要失败，所谓龙格现象，就是典型一例。大家知道，用f(x)的泰勒(Taylor)展开式的部分和去逼近函数f(x)，也是常用的方法。这种方法的特点是：x越接近于x0，误差就越小，x越偏离x0，误差就越大。若要使这种逼近在整个所讨论的区间上都达到精度要求，则需取很多项，这样，计算工作量就大大增加。因此，如何在给定精度下，求出计算量最小的近
3、似式，这就是函数逼近要解决的问题，这个问题的一般提法是：对于函数类A中给定的函数f(x)，要求在另一类较简单的且便于计算的函数类B(ÌA)中寻找一个函数p(x)，使p(x)与f(x)之差在某种度量意义下最小。一般，最常见的函数类A是区间[a,b]上的连续函数，记作C[a,b]。最常用的函数类B有代数多项式、三角多项式以及有理分式函数等。最常用的度量标准有两种：(一)一致逼近以函数f(x)和p(x)的最大误差作为度量误差f(x)-p(x)的“大小”的标准，在这种意义下的函数逼近称为一致逼近或均匀逼近，讲得更具体一点，也即对于任意给定的一个小正数e>0，如果存在函数p(x
4、)，使不等式成立，则称该函数p(x)在区间[a,b]上一致逼近或均匀逼近于函数f(x)。(二)平方逼近：如果我们采用作为度量误差的“大小”的标准，在这种意义下的函数逼近称为平方逼近或均方逼近。这种方法要比一致逼近的相应问题简单得多。本章主要介绍在这两种度量标准下用代数多项式p(x)去逼近区间[a,b]上的连续函数，也就是介绍函数的最佳一致逼近多项式和最佳平方逼近多项式。由于正交多项式是函数逼近的重要工具，因此，下面先介绍几种常见的正交多项式。7.1正交多项式一、正交函数系的概念高等数学中介绍傅立叶(Fourier)级数时，证明过函数系；1，cosx，sinx，cos2
5、x，sin2x，…，connx，sinnx，…(7.1)中任何两个函数的乘积在区间[-p,p]上的积分都等于0。我们称这个函数中任何两个函数在[-p,p]上是正交的，并且称这个函数为一个正交函数系。若对(7.1)中的每一个函数再分别乘以适当的数，使之成为：（7.2)那么这个函数系在[-p,p]上不仅保持正交的性质，而且还地标准化的(规范的)，亦即每一个函数自乘之积，在[-p,p]上的积分是1。为了使讨论更具有一般性，先要介绍一些基本概念。1．权函数的概念定义7.1设r(x)定义在有限或无限区间[a,b]上，如果具有下列性质：(1)r(x)≥0，对任意xÎ[a,b]，(
6、2)积分存在，(n=0,1,2,…)，(3)对非负的连续函数g(x)若。则在(a,b)上g(x)º0，我们就称r(x)为[a,b]上的权函数。在正交多项式的讨论中，会遇到各种有意义的权函数，常用的权函数有：；等等。2．内积的概念定义7.2设f(x)，g(x)ÎC[a,b]，r(x)是[a,b]上的权函数，则称为f(x)与g(x)在[a,b]上以r(x)为权函数的内积。内积有如下性质：(1)(f,f)≥0，且(f,f)=0Ûf=0；(2)(f,g)=(g,f)；(3)(f1+f2,g)=(f1,g)+(f2,g)；(4)对任意实数k，(kf,g)=k(f,g)。这些性质
7、，由内积的定义不难得到证明。3．正交性的概念定义7.3设f(x)，g(x)ÎC[a,b]若则称f(x)与g(x)在[a,b]上带权r(x)正交。定义7.4设在[a,b]上给定函数系，若满足条件则称函数系{jk(x)}是[a,b]上带权r(x)的正交函数系，特别地，当Akº1时，则称该函数系为标准正交函数系。若定义7.4中的函数系为多项式函数系，则称为以r(x)为权的在[a,b]上的正交多项式系。并称pn(x)是[a,b]上带权r(x)的n次正交多项式。例1验证多项式：在上带权r(x)=1两两正交。解容易验证而由定义7.4，结论成立。有了以上的基本概念
