有理函数逼近.pdf

《有理函数逼近.pdf》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、第六章非线性逼近方法教学目的和要求：'要求掌握非线性一致逼近、有理函数逼近、Pade逼近方法、有理逼近的一些算法.考虑函数ln(1x)的逼近问题.它的Taylor展开式为kk1xln(1x)(1)(1x1).k1k记上式右端前s项的和为T(x)，显然T(x)可以作为ln(1x)的一种近似.由连分ss式展开的方法，ln(1x)又有如下的连分式展开式：2222x1x1x2x2xln(1x).12345不难算出它的前4个渐近分式依次为2xR(x),12x26x3xR(x),2266xx2360x60x11xR(x)

2、,3236090x36x3x234420x630x260x25xR(x).4234420840x540x120x6x可以具体算出，R(x)的展开式将含有函数ln(1x)之Taylor展开式的前2n项n和T(x).2n下面来比较R(x)与T(x)的逼近误差.设以与分别记R(x)与T(x)同n2nRn2nln(1x)之间的误差，并取x1.它们误差的对比，如下表：nRn(1)RT2n(1)T10.6670.0260.500.1920.692310.000840.580.1130.6931220.0000250.6170.07640.6931

3、46320.000000760.6340.058（(ln20.69314718)5由上表可知，R(1)的精确度竟比T(1)的精确度高几乎10倍.这说明开展某些函48数的有逼近或一般非线性逼近的研究是很有必要的.§1.非线性一致逼近首先讨论如下有理分式，RR：m,nm,nP(x)mR(x),（1.1）m,nQ(x)n其中P(x)P,Q(x)P分别为x的m,n次多项式.设R(x)是既约有理分mmnnm,x式，即P(x)与Q(x)互质.mn设f(x)是有界闭区间[a,b]上的连续函数.定义偏差函数f(x)R(x)的m,n绝对值的上确界为R(x)与f(x)的最大

4、偏差，简称为偏差：m,n(R)supf(x)R(x).m,nm,naxb(1.2)又定义量m,n(f)infsupf(x)Rm,n(x)Rm,naxb（1.3）为形如（1.1）的有理分式类：RdefR(x)对给定函数f(x)的最佳逼近m,nm,n或最小偏差.关于偏差的下界估计，有：定理1（Vallée-Poussin）设多项式mnA(x)axa,B(x)bxb0m0n互质，其中0m,0n,b0.且设0R(x)A(x)/B(x)于[a,b]区间上为有穷，差函数f(x)R(x)在[a,b]中的点列x

5、xx12N上以正负交错的符号取异于0的值N1,,,(1)12N（不妨假定各个0）.而且Nmnd2,dmin(,),则对每一形如j（1.1）的函数Q(x),恒有(Q)min{,,}.12N（1.4）当R(x)0且Nm2（即dn)时，此不等式仍然成立.证明采用反证法.假若存在一个形如（1.1）的函数Q(x),满足(Q)min{,,}.12N考察差(x)Q(x)R(x)[f(x)R(x)][f(x)Q(x)].显然(x),(x),,(x)不等于0且正负交错变号.由于(x)于[a,

6、b]上连续，12N根据连续函数的中值定理，(x)与(a,b)内至少有N1mnd1个零点.然而(x)Q(x)R(x)v(x)/u(x)中分子v(x)的次数max{mn,mn}mnd.从而必有(x)0，亦即Q(x)R(x).此与定理假设相矛盾，故定理得证.定理2在所有形如（1.1）的有理分式中，至少存在一个有理分式Q(x),使得它与f(x)的偏差(Q)取到极小值，即(Q)min.证明只须证明存在形如（1.1）的有理分式Q(x),使得(Q)(f).m,n下面我们将具体地构造出Q(x)来.按下确界的定义，存在无穷函数序

7、列{Q(x)}，使得ilim(Q)(f)，im,ni其中mm1qxqxq0i1imiQ(x).inn1pxpxp0i1ini将Q(x)如下标准化，使其分母的系数满足i222ppp1(i1,2,).0i1ini我们来证明相应的系数q(j0,1,,m)也是有界的.事实上，设ji(Q)M(i1,2,).i又设,,,为(a,b)内给定的互异点，则对其中任一点，必有12m1mm1qqq0i1iminn1ppp0i1inimm1qqq0i1imif