函数的数值逼近

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1、函数的数值逼近用比较简单的函数代替复杂的函数,是函数逼近。函数最佳逼近,即不满足插值条件而整体具有好的逼近效果的函数拟合方法。下面先讨论函数的数值逼近的基本理论与方法，例如最佳平方逼近函数的存在性、惟一性以及最佳平方逼近函数的求法。最后讨论曲线拟合的最小二乘解问题。1、预备知识1.1正交多项式的概念及几个重要性质定义1.1设有C[a,b]中的函数组若满足其中为权函数,则称此函数组为在区间[a,b]上带权的正交函数组,其中为常数,若=1,称该函数组是标准正交的.定理1.1设函数组正交,则它们一定线性无关.证设为中任意n个函数,令上式两边与作内积,由内积的性质和正交性有因为故有.得证.定

2、理1.2设它们线性无关的充分必要条件是其Gram行列式其中证我们主要在实内积空间讨论问题.由内积的定义可知故对应的矩阵是对称矩阵.考虑以为未知元的线性方程组其系数行列式为.由线性代数知识知道：式（1.3）仅有零解的充要条件是充分性设要证明线性无关.作线性组合显然有这表明满足式(1.3).又因故有,按线性无关的定义知线性无关.必要性设线性无关.要证明设满足式(1.3).即则有从而有由上式可知由于线性无关,则有,即齐次线性方程组(1.3)仅有零解,故定义1.2给定区间[a,b]和对应的权函数及多项式序列其中首项系数若满足则称之为在区间[a,b]上带权的正交多项式序列,称为k次正交多项式.

3、没说明时,认为权函数≡1.2、最佳平方逼近2.1最佳平方逼近函数的概念定义2.1设及中的子集其中线性无关.若存在使得成立,则称为f(x)在中的最佳平方逼近函数.特别地,当满足式(2.1)的称为f(x)的n次最佳平方逼近多项式,简称n次最佳平方逼近.2.2最佳平方逼近函数的求法定理2.1对于任意的函数,其在中的最佳平方逼近函数是存在且唯一的.证中的函数形如由式(2.1)可知,求f(x)的最佳平方逼近函数等价于求多元函数的最小值问题.由极值存在的必要条件有积分与求导交换次序有:故所以这是以为未知元的线性方程组,因为线性无关,其系数行列式故式(2.5)有唯一解.设其解为则下面证明满足式(2

4、.1).即需证明成立.为此只需证明由于由于由(2.4)知上式第二项为零.故这表明为f(x)在中的最佳平方逼近函数.由于式(2.5)的解存在且唯一,所以f(x)在中的最佳平方逼近函数存在且唯一.最佳平方逼近函数的误差由式(2.4)知例2.1求函数在区间[0,1]上的一次最佳平方逼近多项式,并计算.解设，由式（2.5）知所以故由式(2.7)知=3、用正交多项式作函数的最佳平方逼近设在[a,b]上带权正交。问题：在中求f(x)的最佳平方逼近函数由于正交一定线性无关，所以上面的讨论仍适用。由式（2.5）知，应为方程组的解。由正交性可将上式化为故其解所以4、曲线拟合的最小二乘法4.1曲线拟合的

5、最小二乘问题已知一组实验数据,要求y=f(x)的近似表达式.从几何上来讲,就是求y=f(x)的一条近似曲线,故称曲线拟合问题.例如,可以用插值法,如Lagrange插值公式Lm(x)≈f(x).但因插值公式需满足插值条件Lm(xi)=yi(i=0,1,……，m),即要求Lm(x)严格通过给定的m+1个点。由于实验数据一般带有误差，有的数据可能误差还较大，这样就会使所求的多项式Lm(x)仍然保留着一切测试误差。点取得越多，插值多项式的次数也越高，误差可能也越大。正是基于上述原因，放弃使所求函数严格通过上述点（xi,yi）的要求，提出如下的问题：令在C[a,b]中选定线性无关的函数，在中

6、寻求一个函数使与y=f(x)在上述m+1个点上的偏差满足其中为所讨论区间[a,b]上的权函数,它表示不同点数据的权重,例如可表示点被重复观测的次数.满足式(4.2)的函数称为问题的最小二乘解(或称f(x)的离散形式的最佳平方逼近函数),求的方法称为曲线拟合的最小二乘法.4.2最小二乘解的求法要求问题的最小二乘解,首先需确定函数类,为此,需确定的形式.通常的做法是将数据描绘在坐标纸上,依据这些数据点的分布规律确定此函数的具体形式.这也等于确定了函数类.其次是按式(4.2)求,即需要确定其系数此问题转化为求多元函数的极小点由极值存在的必要条件知,应满足即或令则式(4.5)可写成这是关于的

7、线性方程组.其矩阵形式为称之为法方程(或正规方程),其系数矩阵是对称矩阵,其行列式记为,按(4.6)定义的内积可证明线性无关的充要条件是行列式(证法与定理1.2类似).由于线性无关,可知(4.8)有唯一解于是有可证满足并且平方误差为例4.1已知一组实验数据如下:xk00.250.500.751.00Yk=f(xk)1.00001.28401.64872.11702.7183求问题的最小二乘解.解将上述数据描绘在坐标纸上,发现这些点近似一直线,又近似一条抛物