函数的数值逼近(I)

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1、第三章函数的数值逼近引言代数多项式插值分段线性插值与“保形”插值三次样条函数插值曲线拟合的最小二乘法插值问题曲线拟合问题1§1引言一、函数的工程化表达对于很多实际工程计算问题，函数是通过实验或观测得到的，表达形式上为函数表，无解析表达形式。2.虽然有些函数存在解析的表达式，但形式过于复杂而不易使用。2二、问题的提出设是R中若干个不同的点，每个点对应一个数值它们可以是实测得到的，也可以是一个已知函数的值。如何近似由这组数据确定的函数？并由此可提出两类问题：作一条曲线，其类型是事先给定的（如：代数多项式），使该曲线经过给定点。这就是所谓的插值问题。作一条指定的曲线，使该曲线能在“一定意义”下逼

2、近这一组数据。这就是所谓的曲线拟合问题。3(1)复杂函数的计算;(2)函数表中非表格点计算(3)光滑曲线的绘制;(4)提高照片分辩率算法(5)定积分的离散化处理;(6)微分方程的离散化处理;(7)积分方程的离散化处理;插值方法的应用:4三、插值的定义与存在性求P(x)的方法就是插值法。若存在一简单函数P(x)，使得P(x)为f(x)的插值函数点x0,x1,⋯,xn为插值节点(1)式为插值条件f(x)为被插函数[a,b]为插值区间设f(x)∈C[a,b],取点a≤x0＜x1＜···＜xn≤b成立，则称定义：5若P(x)是次数不超过n的实系数代数多项式,即则称P(x)为n次插值多项式.相应的插

3、值法称为多项式插值法(代数插值法)。P(x)=a0+a1x+⋯+anxn从几何上看x0yy=P(x)a=x0x1x2x3xn=b•(xi,yi)y=f(x)曲线P(x)近似f(x)6研究问题：（1）满足插值条件的P(x)是否存在唯一？（2）若满足插值条件的P(x)存在，如何构造P(x)？（3）如何估计用P(x)近似替代f(x)产生的误差？72、插值多项式的存在唯一性证明：由(1)式(2)定理若插值结点x0,x1,…,xn是(n+1)个互异点,则满足插值条件P(xk)=yk(k=0,1,…,n)的n次插值多项式P(x)=a0+a1x+……+anxn存在且唯一。8点是互异的其系数行列式：为范德

4、蒙行列式。只要插值节点互不相同，则系数矩阵非奇异。故方程组解存在且唯一。9插值多项式的唯一性表明，对同一组节点，它们的插值多项式是唯一的，可能由不同的方法，会得到不同形式的插值多项式，但它们之间可以相互转化，本质相同，当然误差也一样。n+1组节点只能确定一个不超过n次的多项式，若>n次，如设为n+1(x)，则有n+2有待定参数a0,a1,…,an,an+1需确定，而n+1个组节点，只构成n+1个插值条件，即构成n+1个方程，只能确定n+1个变量的方程组。上述证明是构造性的（给出解决问题的方法）即以通过解线性方程组来确定插值多项式，但这种方法的计算量偏大，计算步骤较多，容易使舍入误差增大。

5、因此实际计算中需要用其它方式进行。说明：10x0yy=f(x)的几何意义一、线性插值与抛物线插值1.线性插值(n=1)设已知区间[xk,xk+1]端点处的函数值yk=f(xk)，yk+1=f(xk+1)，y=L1(x)xkxk+1求线性插值多项式L1(x)，使其满足——过两点(xk,yk)与(xk+1,yk+1)的直线§2代数多项式插值11或L1(x)是两个线性函数的线性组合称为节点上线性插值基函数线性函数y10xkxk+1xy10xkxk+1xlk(x)lk+1(x)节点上的线性插值基函数：满足12几何意义:过三点(xk-1,yk-1),(xk,yk)与(xk+1,yk+1)的抛物线2.

6、抛物插值法(n=2时的二次插值)设插值节点为：xk-1,xk,xk+1,求二次插值多项式L2(x)，使得L2(xj)=yj,j=k-1,k,k+1.先求插值基函数lk-1(x),lk(x),lk+1(x)(二次函数),满足：(4)[y0y1y2]=[100]y0+[010]y1+[001]y2L(x)=l0(x)y0+l1(x)y1+l2(x)y2，构造法：13求lk-1(x):L2(xj)=yj,j=k-1,k,k+1.(5)再构造插值多项式由(4)式插值条件14y10xy10xy10xxk-1xkxk+1xk-1xkxk+1xk-1xkxk+1L2(x)是三个二次函数的线性组合15二次

7、插值的应用一例——极值点近似计算二次插值函数:L(x)=l0(x)y0+l1(x)y1+l2(x)y2，极值点近似计算公式16二、Lagrange多项式插值(n次)求通过n+1个节点的n次插值多项式Ln(x)定义若n次多项式lk(x)(k=0,1,⋯,n)在各节点设Ln(x)满足插值条件：Ln(xj)=yj(j=0,1,⋯,n).(6)先求插值基函数然后构造插值多项式则称这n+1个n次多项式为这n+1个节点上的n次插值基