Chap5函数的数值逼近.ppt

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1、第5章函数的数值逼近刘东毅天津大学理学院数学系15:函数的数值逼近函数的数值逼近主要目的：讨论函数的数值逼近的基本理论与方法最佳平方逼近函数的存在性、唯一性最佳平方逼近函数的求法讨论曲线拟合的最小二乘问题主要内容：正交多项式最佳平方逼近用正交多项式作函数的最佳平方逼近曲线拟合的最小二乘解25:函数的数值逼近5.1正交多项式其中为权函数，则称此函数组为在区间[a,b]上带权的正交函数组,其中Ak为正数。若Ak=1,（k=0,1,2,…）称该函数组是标准正交的。定理5.1.1设函数组正交，则它们一定线性无关。1.

2、正交函数组及其性质定义5.1.1设有C[a,b]中的函数组若满足35:函数的数值逼近设它们线性无关的充分必要条件是其Gram行列式其中定理5.1.245:函数的数值逼近设是线性无关的函数组,则由正交结构公式定理5.1.3得出的函数组是正交函数组,且与可互相线性表示.55:函数的数值逼近定义5.1.2给定区间[a,b]和对应的权函数ρ(x)及多项式序列其中首项系数2.正交多项式及其性质2.1正交多项式定义若gk(x)满足则称为在区间[a,b]上带权ρ(x)的正交多项式序列,gk(x)称为k次正交多项式.65:函

3、数的数值逼近2.2正交多项式的性质定理5.1.4n次正交多项式gn(x)与任意次数不超过n-1的多项式P(x)在区间[a,b]上带权ρ(x)正交.定理5.1.5n次正交多项式gn(x)(n1)的n个零点都是实的单零点,且都在区间(a,b)内.75:函数的数值逼近3.Legendre多项式若区间[-1,1],权函数由{1,x,x2,…,xn,…}经正交化结构公式可得正交多项式族P0(x),P1(x),…,Pn(x),…,称这族多项式为Legendre多项式。其标准形式为:85:函数的数值逼近可以证明,Lege

4、ndre多项式有下列递推关系：由上式可推出当n为偶数时,Legendre多项式Pn(x)为偶函数；当n为奇数时,Legendre多项式Pn(x)为奇函数。95:函数的数值逼近4.Chebyshev多项式若取区间[-1,1],权函数为由{1,x,x2,…,xn,…}经正交化结构公式可得一族Chebyshev多项式.其标准形式为:105:函数的数值逼近可以证明,Chebyshev多项式有下列递推关系：当n为偶数时,多项式Tn(x)为偶函数；当n为奇数时,多项式Tn(x)为奇函数.Tn(x)在（-1,1）内有n个不

5、同的零点Tn(x)在[-1,1]上有n+1个极值点由上式可推出115:函数的数值逼近5.Hermite多项式若取区间(-,+),权函数为。正交的一族Hermite多项式标准形式为:125:函数的数值逼近可以证明,Hermite多项式有下列递推关系：由上式可推出：135:函数的数值逼近6.Laguerre多项式若取区间(0,+),权函数为。正交的一族Laguerre（拉盖尔）多项式标准形式为:145:函数的数值逼近可以证明,Laguerre多项式有下列递推关系：由上式可推出：155:函数的数值逼近5.2最

6、佳平方逼近165:函数的数值逼近1.最佳平方逼近函数的概念当时，满足上式的称为f(x)的n次最佳平方逼近多项式，简称n次最佳平方逼近。定义5.2.1设有f∈C[a,b]及C[a,b]中的子集成立,则称S*(x)为f(x)在Φ中的最佳平方逼近函数。其中线性无关。若存在使得=（5.2.1）175:函数的数值逼近2.最佳平方逼近的求法定理5.2.1对于任意的函数f∈C[a,b]，其在Φ中的最佳平方逼近函数S*(x)是存在且唯一的。证明：由于Φ中元素（函数）可以表示为，故求最佳平方逼近函数等价于求多元函数的最小值问题

7、。2.1最佳平方逼近的存在与唯一性185:函数的数值逼近由极值存在的必要条件有。对求偏导数，我们可得到整理并写成C[a,b]空间中内积的形式，得。。(5.2.4)195:函数的数值逼近从而得到关于a0,a1,…,an的线性方程组即因为线性无关，所以上述方程组(5.2.5)的系数矩阵的行列式非零，故有唯一解。205:函数的数值逼近设下面证明满足式（5.2.1），即要证明成立。由（2.5.4）知。又由于，所以有。这样，有215:函数的数值逼近=0于是，。这就证明了为在Ф中的最佳平方逼近函数。下面我们看一看最佳平方

8、逼近的几何意义225:函数的数值逼近2.2最佳平方逼近的几何意义可知，由与Φ中的所有函数都正交，与Φ中的所有元素均垂直，即S*为元素f在Φ中的正交投影。从几何意义上来讲如下图所示整个平面代表空间C[a,b]，这条水平线代表子空间Φ。235:函数的数值逼近2.3最佳平方逼近函数的平方误差由最佳平方逼近的几何意义知245:函数的数值逼近2.4最佳平方逼近的求法(4)计算平方误差(1)确定Φ，即确定S*(