数值计算方法教案_曲线拟合与函数逼近

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1、第三章曲线拟合与函数逼近一．曲线拟合1.问题提出：已知多组数据，由此预测函数的表达式。数据特点：（1）点数较多。（2）所给数据存在误差。解决方法：构造一条曲线反映所给数据点的变化总趋势，即所谓的“曲线拟合”。2.直线拟合的概念设直线方程为y=a+bx。则残差为：，其中。残差是衡量拟合好坏的重要标志。可以用MATLAB软件绘制残差的概念。x=1:6;y=[3,4.5,8,10,16,20];p=polyfit(x,y,1);xi=0:0.01:7;yi=polyval(p,xi);plot(xi,yi,x,y,'o');y1=polyval(p,x);

2、holdonfori=1:6plot([i,i],[y(i),y1(i)],'r');end可以绘制出如下图形：三个准则：（1）最小（2）最小（3）最小3.最小二乘法的直线拟合问题：对于给定的数据点，求一次多项式y=a+bx，使得总误差Q最小。其中。根据故有以下方程组（正则方程）：例1.给定数据表，求最小二乘拟合一次多项式xi165123150123141yi187126172125148解：N=5，=702，=758，=99864，=108396。则有方程组解得a=-60.9392，b=1.5138，则一次多项式为y=-60.9392+1.5138

3、b用MATLAB计算并画图如下：x=[165,123,150,123,141];y=[187,126,172,125,148];A(1,1)=5;A(1,2)=sum(x);A(1,3)=sum(y);A(2,1)=sum(x);A(2,2)=sum(x.^2);A(2,3)=x*y';B=rref(A);a=B(1,3);b=B(2,3);p=[b,a];%以上四行，可以用一行命令p=polyfit(x,y,1);替代。xi=min(x)-1:0.01:max(x)+1;yi=polyval(p,xi);plot(xi,yi,x,y,'o');绘制

4、如下图形4.最小二乘法的多项式拟合问题：对于给定的数据点，求m次多项式（m<

5、(2,2)=sum(x.^2);A(2,3)=sum(x.^3);A(2,4)=y*x';A(3,1)=sum(x.^2);A(3,2)=sum(x.^3);A(3,3)=sum(x.^4);A(3,4)=y*(x.^2)';B=rref(A);p=[B(3,4),B(2,4),B(1,4)];%以上五行可以用p=polyfit(x,y,2);替代xi=min(x)-0.1:0.01:max(x)+0.1;yi=polyval(p,xi);plot(xi,yi,x,y,'o');可以绘制出如下图形：例3.从三次多项式上找出21个点，然后对这21个点进

6、行“差错处理”，得到新的21个点，根据新的21个点拟合一个新的3次多项式函数，然后和原函数进行比较。解：在MATLAB命令窗口输入：p3=inline('2.*x.^3-3.*x.^2+4.*x-5');x=-10:10;y=p3(x);e=randn(1,length(x))*80;y=y+e;p=polyfit(x,y,3);xi=-10:0.01:10;yi=polyval(p,xi);plot(xi,yi,x,y,'o');holdonfplot(p3,[-10,10],'r');5.利用MATLAB的多项式拟合命令polyfit来实现多项式

7、的插值例1.过随机6个数据点，构造5次多项式函数。解：在MATLAB命令窗口输入：x=1:6;y=round(10*randn(1,6));p=polyfit(x,y,length(x)-1);xi=1:0.01:6;yi=polyval(p,xi);plot(xi,yi,x,y,'o');可以得到以下图形：6.利用最小二乘法解超定方程组例1．解下列超定方程组解：设超定方程的解为。方法一：点到4条直线的距离平方分别为：，，，设，根据，有：=0=0化简有：解得方法二：最小二乘法：点关于4条直线的残差平方和为：+根据，有：=0=0化简有：解得用MATLA

8、B命令有：symsx0y0f1=4*(2*x0+4*y0-11)+2*3*(3*x0-5*y0-3)+2*(