初中-几何证明题库:矩形

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1、-例8.如图,已知矩形纸片ABCD,AD=2,AB=4.将纸片折叠,使顶点A与边CD上的点E重合,折痕FG分别与AB,CD交于点G,F,AE与FG交于点O.(1)如图1,求证:A,G,E,F四点围成的四边形是菱形;(2)如图2,当△AED的外接圆与BC相切于点N时,求证:点N是线段BC的中点;(3)如图2,在(2)的条件下,求折痕FG的长.【答案】解:(1)由折叠的性质可得,GA=GE,∠AGF=∠EGF,∵DC∥AB,∴∠EFG=∠AGF。∴∠EFG=∠EGF。∴EF=EG=AG。∴四边形AGEF是平行四边形(EF∥AG,EF=AG)。又∵AG=GE,∴四边形AGEF是菱形。--(

2、2)连接ON,∵△AED是直角三角形,AE是斜边,点O是AE的中点,△AED的外接圆与BC相切于点N,∴ON⊥BC。∵点O是AE的中点,∴ON是梯形ABCE的中位线。∴点N是线段BC的中点。(3)∵OE、ON均是△AED的外接圆的半径,∴OE=OA=ON=2。∴AE=AB=4。在Rt△ADE中,AD=2,AE=4,∴∠AED=30°。在Rt△OEF中,OE=2,∠AED=30°,∴。∴FG=。【考点】翻折变换(折叠问题),折叠对称的性质,菱形的判定,梯形中位线性质,锐角三角函数定义,特殊角的三角函数值。--【分析】(1)根据折叠的性质判断出AG=GE,∠AGF=∠EGF,再由CD∥A

3、B得出∠EFG=∠AGF,从而判断出EF=AG,得出四边形AGEF是平行四边形,从而结合AG=GE,可得出结论。(2)连接ON,则ON⊥BC,从而判断出ON是梯形ABCE的中位线,从而可得出结论。(3)根据(1)可得出AE=AB,从而在Rt△ADE中,可判断出∠AED为30°,在Rt△EFO中求出FO,从而可得出FG的长度。8.依次连接一矩形场地ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点E、F、G、H,得到四边形EFGH,M为边EH的中点,点P为小明在对角线EG上走动的位置,若AB=10米,BC=米,当PM+PH的和为最小值时,EP的长为▲。10.如图,在矩形ABCD中,AD=4cm,

4、AB=m(m>4),点P是AB边上的任意一点(不与点A、B重合),连接PD,过点P作PQ⊥PD,交直线BC于点Q.--(1)当m=10时,是否存在点P使得点Q与点C重合?若存在,求出此时AP的长;若不存在,说明理由;(2)连接AC,若PQ∥AC,求线段BQ的长(用含m的代数式表示);(3)若△PQD为等腰三角形,求以P、Q、C、D为顶点的四边形的面积S与m之间的函数关系式,并写出m的取值范围.1.已知长方形ABCD,AB=3cm,AD=4cm,过对角线BD的中点O做BD的垂直平分线EF,分别交AD、BC于点E、F,则AE的长为▲.例2.如图,在矩形ABCD中,AD>AB,将矩形ABC

5、D折叠,使点C与点A重合,折痕为MN,连结CN.若△CDN的面积与△CMN的面积比为1︰4,则的值为【】--A.2B.4C.D.【答案】D。【考点】翻折变换(折叠问题),折叠的性质,矩形、菱形的判定和性质,勾股定理。【分析】过点N作NG⊥BC于G,由四边形ABCD是矩形,易得四边形CDNG是矩形,又由折叠的性质,可得四边形AMCN是菱形,由△CDN的面积与△CMN的面积比为1:4,根据等高三角形的面积比等于对应底的比,可得DN:CM=1:4,然后设DN=x,由勾股定理可求得MN的长,从而求得答案:过点N作NG⊥BC于G,∵四边形ABCD是矩形,∴四边形CDNG是矩形,AD∥BC。∴C

6、D=NG,CG=DN,∠ANM=∠CMN。由折叠的性质可得:AM=CM,∠AMN=∠CMN,∴∠ANM=∠AMN。∴AM=AN。--∴AM=CM,∴四边形AMCN是平行四边形。∵AM=CM,∴四边形AMCN是菱形。∵△CDN的面积与△CMN的面积比为1:4,∴DN:CM=1:4。设DN=x,则AN=AM=CM=CN=4x,AD=BC=5x,CG=x。∴BM=x,GM=3x。在Rt△CGN中,,在Rt△MNG中,,∴。故选D。例1.如图,在矩形ABCD中,点E,F分别在BC,CD上,将△ABE沿AE折叠,使点B落在AC上的点B′处,又将△CEF沿EF折叠,使点C落在EB′与AD的交点C

7、′处.则BC:AB的值为▲。--例3.如图所示,现有一张边长为4的正方形纸片ABCD,点P为正方形AD边上的一点(不与点A、点D重合)将正方形纸片折叠,使点B落在P处,点C落在G处,PG交DC于H,折痕为EF,连接BP、BH.(1)求证:∠APB=∠BPH;(2)当点P在边AD上移动时,△PDH的周长是否发生变化?并证明你的结论;(3)设AP为x,四边形EFGP的面积为S,求出S与x的函数关系式,试问S是否存在最小值?若存在,求出这个最小值;若不存在,请说

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