三次函数与导数

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1、高考真题全解密考点十四导数与三次函数问题[真题1]（2009年安徽卷）设＜b,函数的图像可能是（）[命题探究]考题的命制，直接给出函数图像，然后设计了四个选项，意在通过对问题的判断，直接考查三次函数的性质：单调区间和极值问题。这里，函数的化简、图像的观察等等，不仅需要扎实的基本功，而且还需要熟练的解题技巧。[知识链接]1.三次函数图象a>0a<0>00>00图象x1x2xx0xx1x2xx0x2．函数单调性、极值点个数情况。=，记=，（其中x1,x2是方程=0的根，且x10a<0>0

2、0>00单调性在上,是增函数；在上,是减函数；在R上是增函数在上，是增函数；在上，是减函数；在R上是减函数极值点个数2020《规范解答》[真题2]（2010江西卷）设函数.（1）若的两个极值点为，且，求实数的值；（2）是否存在实数，使得是上的单调函数？若存在,求出的值；若不存在，说明理由..[命题探究]三次函数是导数内容中最简单的高次函数，其导函数是二次函数，这类问题的难点是研究其中的参数的取值范围.破解难点的方法是对三次函数求导后,化归成二次函数,通过二次函数要的分布求解,或利用数形结合思想画

3、出函数的极大值、极小值后进行对比分析，求出参数的取值范围。解三次函数的问题，可借助导数工具进行研究，推进了二次函数性质的深化与二次函数方法的研究。《规范解答》[考题再现]（06福建文21）已知是二次函数，不等式的解集是且在区间上的最大值是12。（I）求的解析式；（II）是否存在自然数使得方程在区间内有且只有两个不等的实数根？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由。《规范解答》[抢分秘题]1．已知函数，当时，只有一个实数根；当有3个相异实根，现给出下列4个命题：①函数有2个极值点；②函数有3个

4、极值点；③方程的根小于的任意实根；④和有一个相同的实根．其中正确命题的个数是（）。A．1B．2C．3D．42．（2010北京卷）设定函数，且方程的两个根分别为1，4。（Ⅰ）当a=3且曲线过原点时，求的解析式；（Ⅱ）若在无极值点，求a的取值范围。3．（2009江西卷）设函数．（1）对于任意实数，恒成立，求的最大值；（2）若方程有且仅有一个实根，求的取值范围．4．已知函数，．（Ⅰ）讨论函数的单调区间；（Ⅱ）设函数在区间内是减函数，求的取值范围．参考答案:[解析]，由得，∴当时，取极大值0，当时取极小

5、值且极小值为负。故选C。或当时，当时，选C[解析]（1）由已知有，从而，所以；（2）由，所以不存在实数，使得是上的单调函数.[解析]本小题主要考查函数的单调性、极值等基本知识，考查运用导数研究函数的性质的方法，考查函数与方程、数形结合等数学思想方法和分析问题、解决问题的能力。满分12分。（I）解：是二次函数，且的解集是可设在区间上的最大值是由已知，得（II）方程等价于方程设则当时，是减函数；当时，是增函数。方程在区间内分别有惟一实数根，而在区间内没有实数根，所以存在惟一的自然数使得方程在区间内有

6、且只有两个不同的实数根。1.C23．解：(1),因为,,即恒成立,所以,得，即的最大值为(2)因为当时,;当时,;当时,;所以当时,取极大值;w.w.w.k.s.5.u.c.o.m当时,取极小值;故当或时,方程仅有一个实根.解得或.4．解：（1）求导：当时，，，在上递增当，求得两根为即在递增，递减，递增（2），且解得：