导数与三次函数问题有答案

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1、-导数与三次函数问题★知识梳理★一、定义：、形如yax3bx2cxd(a0)的函数，称为“三次函数”三次函数的导数y3ax22bxc(a0)，4b212ac叫做三次函数导函数的判别式。二、三次函数图象与性质1.三次函数f(x)ax3bx2cxd(a0)图象a>0a<0>00>00图象x1x2xx0x0xx1x2xx2．函数f(x)ax3bx2cxd(a0)单调性、极值点个数情况。f'(x)=3ax22bxc，记=4b212ac4(b23ac)，（其中x1,x2是方程f'(x)=0的根，且x10a<

2、0>00>00在(,x),(x,)上,在(x,x)上，是增函单12在R上是增函数12在R上是减函数是增函数；数；调在(x1,x2)上,是减函在(,x1),(x2,)性数；上，是减函数；极值点个2020数3、三次函数最值问题。函数若，且，则：fmaxxfm,fx0,fn；。4、三次方程根的问题。（三次函数的零点问题）三次函数f()ax3bx2cxd(a0)--x(1)若b23ac0，则f(x)0恰有一个实根；(2)若b23ac0,且f(x1)f(x2)0，则f(x)0恰有一个实根；(3)若b23ac0,且f(x

3、1)f(x2)0，则f(x)0有两个不相等的实根；--(4)若b23ac0,且f(x1)f(x2)0，则f(x)0有三个不相等的实根.5、对称中心。三次函数f(x)ax3bx2cxd(a0)是关于点对称，且对称中心为点(b,f(b))，此点的横坐标是其导函数极值点的横坐标。3a3a.C★典型考题★1.已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+d的图象如图所示，则（A）A.b∈（-∞，0）B.b∈（0，1）C.b∈（1，2）D.b∈（2，+∞）2.如图，函数y＝f（x）的图象如下，则函数f（x）的解析式可以为（A

4、）Ａ）f（x）＝（x－a）2（b－x）Ｂ）f（x）＝（x－a）2（x＋b）Ｃ）f（x）＝－（x－a）2（x＋b）Ｄ）f（x）＝（x－b）2（x－a）3.设a＜b,函数y(xa)2(xb)的图像可能是（C）4．已知函数fxx3bx2cxdbcd为常数，当k(,0)(5,时，()))(,,f(x)k0只有一个实数根；当k(0,5)时,f(x)k0有3个相异实根，现给出下列4个命题：①函数f(x)有2个极值点；②函数f(x)有3个极值点；③方程f(x)5的根小于f(x)0的任意实根；④f(x)0和f(x)0有一个相

5、同的实根．其中正确命题的个数是（C）。A．1B．2C．3D．4--5、函数在闭区间[－3，0]上的最大值、最小值分别是（C）--A.1，－1B.1，－17C.3，－17D.9，－196.函数f（x）=x3/3+ax2/2+ax-2（a∈Ｒ）在(-∞,+∞)上为单调增函数，求实数a的取值范围是——————。a∈[0，4]３２２7.已知函数f（x）＝x/3－（４m－１）x＋（１５m－２m－７）x＋２在实数集Ｒ上是增函数，求实数m的取值范围。解：∵y＝f（x）在Ｒ上是单调增函数２２－２m－７≥０在Ｒ上恒成立，∴f′

6、（x）＝x－２（４m－１）x＋１５m=,=m２－６＋８≤０得２≤≤４mm8.已知曲线y＝x3/3＋4/3，求曲线在点（２，４）处的切线方程解：f′（x）＝x2，f′（２）＝４，曲线在点（２，４）处的切线斜率为k＝f′（２）＝４∴代入直线方程的斜截式，得切线方程为：y－４＝４（x－２），即y＝４x－４3变式：已知曲线y＝x/3＋4/3，则曲线过点（２，４）的切线方程——————。错因剖析：如下图所示，在曲线上的点A处的切线与该曲线还有一个交点。这与圆的切线是有不同的。点（２，４）在曲3上，线y＝x/3＋4/3它

7、可以是切点也可以不是。正确解法：设过点（２，４）的切线对应3/3＋的切点为（x0，x04/3），232＋4/3（x-x0）斜率为k=x0，切线方程为y-（x0/3）=x0即y=x02x-2x03/3+4/32-2x3/3+4/3，点（2，4）的坐标代入，得4=2x00323-3x22x0-6x0+8=0，∴x00+4=0，又∵x320+1-（3x0-3）=0（x0+1）（x02-x0+1）-3（x0-1）（x0+1）=0∴（x+1）（x2+4）=0∴x=-1或x=2---4x00000∴切线的方程为4x-4-

8、y=0或x-y+2=0点评：一个是“在点（2，4）”、一个是“过点（2，4）”，一字之差所得结果截然不同。9、已知函数fxx33x⑴求函数fx的单调区间及极值；⑵求fx在0,3上的最值。解：令fx3x230x11,x21--x、fx、fx的变化情况如下表x,1－1（－，）11,11fx＋0－0＋fx极大值极小值∴fx的单调递增区间是,1和1,fx的单调递减区间是1,1当x1时，fx有极大值f1331