导数与三次函数问题有答案.docx

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1、导数与三次函数问题★知识梳理★一、定义：、形如的函数，称为“三次函数”三次函数的导数，叫做三次函数导函数的判别式。二、三次函数图象与性质1.三次函数图象a>0a<0>00>00图象x1x2xx0xx1x2xx0x2．函数单调性、极值点个数情况。=，记=，（其中x1,x2是方程=0的根，且x10a<0>00>00单调性在上,是增函数；在上,是减函数；在R上是增函数在上，是增函数；在上，是减函数；在R上是减函数极值点个数20203、三次函数最值问题。函数若，且，则：；。4、三次方程根的问题。（三次函数的零点问题）三次函数(1)若，则恰有一个

2、实根；(2)若,且，则恰有一个实根；(3)若,且，则有两个不相等的实根；(4)若,且，则有三个不相等的实根.5、对称中心。三次函数是关于点对称，且对称中心为点，此点的横坐标是其导函数极值点的横坐标。.C★典型考题★1.已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+d的图象如图所示，则（A）A.b∈（-∞，0）B.b∈（0，1）C.b∈（1，2）D.b∈（2，+∞）2.如图，函数y＝f（x）的图象如下，则函数f（x）的解析式可以为（　　A　）Ａ）f（x）＝（x－a）2（b－x）Ｂ）f（x）＝（x－a）2（x＋b）Ｃ）f（x）＝－（x－a）2（x＋b）Ｄ）f

3、（x）＝（x－b）2（x－a）3.设＜b,函数的图像可能是（C）4．已知函数，当时，只有一个实数根；当有3个相异实根，现给出下列4个命题：①函数有2个极值点；②函数有3个极值点；③方程的根小于的任意实根；④和有一个相同的实根．其中正确命题的个数是（C）。A．1B．2C．3D．45、函数在闭区间[－3，0]上的最大值、最小值分别是（C）A.1，－1B.1，－17C.3，－17D.9，－196.函数f（x）=x3/3+ax2/2+ax-2（a∈Ｒ）在(-∞,+∞)上为单调增函数，求实数a的取值范围是——————。a∈[0，4]7.已知函数f（x）＝x３

4、/3－（４m－１）x２＋（１５m２－２m－７）x＋２在实数集Ｒ上是增函数，求实数m的取值范围。解：∵y＝f（x）在Ｒ上是单调增函数∴f´（x）＝x２－２（４m－１）x＋１５m２－２m－７≥０在Ｒ上恒成立，Δ=…=m２－６m＋８≤０得２≤m≤４8.已知曲线y＝　x3/3＋4/3，求曲线在点（２，４）处的切线方程解：f´（x）＝x2，f´（２）＝４，曲线在点（２，４）处的切线斜率为k＝f´（２）＝４∴代入直线方程的斜截式，得切线方程为：y－４＝４（x－２），　即　y＝４x－４变式：已知曲线y＝x3/3＋4/3，则曲线过点（２，４）的切线方程——————

5、。错解：依上题，直接填上答案４x－y－４＝０错因剖析：如下图所示，在曲线上的点A处的切线与该曲线还有一个交点。这与圆的切线是有不同的。点（２，４）在曲线y＝x3/3＋4/3上，它可以是切点也可以不是。正确解法：设过点（２，４）的切线对应的切点为（x0，x03/3＋4/3），斜率为k=x02，切线方程为y-（x03/3＋4/3）=x02（x-x0）即y=x02x-2x03/3+4/3点（2，4）的坐标代入，得4=2x02-2x03/3+4/3，2x03-6x02+8=0，∴x03-3x02+4=0，又∵x03+1-（3x02-3）=0（x0+1）（x

6、02-x0+1）-3（x0-1）（x0+1）=0∴（x0+1）（x02-4x0+4）=0∴x0=-1或x0=2∴切线的方程为4x-4-y=0或x-y+2=0点评：一个是“在点（2，4）”、一个是“过点（2，4）”，一字之差所得结果截然不同。9、已知函数⑴求函数的单调区间及极值；⑵求在上的最值。解：令、、的变化情况如下表－1（－1，1）1＋0－0＋极大值极小值∴的单调递增区间是和的单调递减区间是当时，有极大值当时，有极小值⑵，∵在上只有一个极值点∴在上的最小值为－2，最大值为18变式一、已知函数，其他不变解：∴在单调递增，没有极值在上的最小值为，最大

7、值为变式二、已知函数；其他不变解：△∴没有实数根∴在上恒成立∴在上单调递增，没有极值在上的最小值为，最大值为变式三、已知函数，，实数为何值时，函数与的图象的交点有一个、二个、三个？1Oyx2－2－1解：由例1画出函数的大致图象如图，观察图象，可得当或时，函数与只有一个交点。当或时，函数与有二个交点。当时，函数与有三个交点。变式四、为何值时，函数有一个零点？两个零点？三个零点？解：令、、的变化情况如下表－1（－1，1）1＋0－0＋极大值极小值∴的单调递增区间是和的单调递减区间是当时，有极大值当时，有极小值要使有一个零点，需且只需，解得要使有二个零点，

8、需且只需，解得要使有三个零点，需且只需，解得变式五、已知函数，如果过点可作曲线的三条切线，求的取值范围解：设切点为，则∴切