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1、运用导数破解三次函数问题浙江曾安雄一求三次函数的导数主要是运用导数的定义或直接运用公式，若y=x“，而求出导数.例1（2004年全国卷IV）函数y=（x+l）2（x-l）在兀=1处的导数等于（）A.1B.2C.3D.4解析：y,=3x2+2x-t故在x=l处的导数为4,故选D.例2已知a为实数,/（x）=（x2-4）U-a）,求导数fx）.解析：由原式,得f（x）=x3-ax2-4x+4af.ff（x）=3x2-2ax-4.二研究三次函数的切线、切点、斜率问题主耍运用：（1）直线y=.f（兀）在点P（x0,/（
2、x0））处的斜率为倾斜角为&,则tan0=k=/V（））•（2）其切线/的方程为：y=y（）+广（珀））（兀-无）•若曲线y=f（x）在点P（x0,/（x0））的切线平行于〉，轴（即导数不存在）时，山切线定义知，切线方程为x=x0.例3曲线y=x3+3x2+l在点（1,-1）处的切线方程为（）A.y=3x-4B.y=-3x4-2C.y=-4x+3D.y=4x-5解析：x=l处的导数是y
3、x=1=3-6=-3,点（1,-1）在切线上，切线方程是歹+1=—3（天一1）,即y=-3x+2・故选B.例4直线y=兀是曲线y=%
4、3+3x2+ax的切线，则a的取值为・解析：（1）切线斜率R=（2）切点（兀，儿）在直线y=x上，勺=儿；（3）切点（X。，J。）在曲线y=兀’+3疋+ax上，=兀：++ax()；（4）导数yf」=3%o+6兀0+a=1,联立方程组《xo=兀+3兀0+ax0,消玄匕°3兀+6x0+a=1,得兀。=0或=
5、,进而可求°=1或等.三研究三次函数的单调区间一般地，设函数y=.f(x)在某个区间内可导,如果广⑴>(),那么.f(x)为增函数；如果广(x)<0,那么/(x)为减函数•讥调性是导数应用的重点内容，主要有四类问题：
6、%1运用导数判断单调区间；%1证明单调性；%1已知单调性求参数；%1先证明其单调性，再运用单调性证明不等式等问题.例5(2005年广东卷)函数/(x)=x3-3x2+1是减函数的区间为()A.(2,+8)B.(-oo,2)C.(-oo,o)D.(0,2)解析：vyXx)=3x2-6x,令fx)<0,即3x2-6x<0,解得0。<2.故选D.四研究三次函数的极值问题一般地，求函数y=/(x)的极值的方法是：解方程广⑴=0,当mo时:(1)如果在X。附近的左侧广(兀)>0,右侧/'(x)vO,那么/(X。)是极人值；(
7、2)如果在兀°附近的在侧广(%)<0,右侧广⑴>0,那么/(X。)是极小值.例6(2005年全国卷II)设d为实数，函数fM=x3-x2-x+a,求/⑴的极值.解析：广(x)=3x2-2x-1.若fXx)=0,则x=--,1.3当X变化时，广⑴，/(X)的变化情况如下表：X'1)<3丿131(1,+8)广⑴+0-0+fM极人值极小值(iA5所以/(Q的极大值是/--=—+0,极小值是/(1)=«-1.I3丿27五求三次函数的最大、最小值运用导数求最大(小)值的一般步骤如下：(1)求广(X),令广(兀)=0,求出在㈡，
8、切内使导数为0的点及导数不存在的点.(2)比较三类点：导数不存在的点，导数为0的点及区间端点的函数值，其中最大者便是/(兀)在S，b］上的最大值,最小者是/(尤)在⑺，切上的最小值.例7函数/(x)=?-3x+l在闭区间［-二0］上的最人值，最小值分别是()A.L-1B.1,-17C.3,-17D.9,-19解析：由于ff(x)=3x2-3在［-30］上有正有负,故f(x)在［-3,0］上不具有单调性，令3兀2_3>0,得x2>l,故在(-3,-1)上，广⑴>0,f(x)单调递增；令3x2-3<0，得%2<1,故在(
9、-1,0)上，/z(x)<0,/(x)单调递减，所以/(对在x=-l处取得极大值,为/(-1)=_1+3+1=3.又・.・/(_3)=_27+9+1=-17,/(0)=1,故/(x)在x=-3处取得最小值为-17,综上所述，最大值为3,最小值为-17.六求三次函数的解析式例8(2005年福建卷)已知函数f{x)=x3+bx2+cx+d的图象过点P(0»2),且在点M(-l,/(-I))处的切线方程为6x-y+7=0,求函数y=f(x)的解析式.解析：由/⑴的图象经过P(0,2),知d=2・所以/(x)=x3+bx1+
10、ex+2,fx)=3x2+2bx+c.由在M(-l,/(-1))处的切线方程是6x-y+7=0,-6-/(-l)+7=0,即/(_1)=1,广(-1)=6..3—2b+c=6,c—2b=3,即<-1+/?-c+2二1,b-c=0・解得b=c=-3.故所求的解析式是/(A-)=x3-3.?-3x+2.七研究三次函数的综合问题例9(2005年山东
