线性代数-第三章矩阵的运算3.2逆矩阵

《线性代数-第三章矩阵的运算3.2逆矩阵》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、第三章矩阵的运算§3.2逆矩阵一、概念的引入二、逆矩阵概念与性质三、典型例题第三章矩阵的运算一、概念的引入在数的运算中，当数a0时，有11aaaa1,其中a11为a的倒数，（或称a的逆）；a在矩阵的运算中，单位阵E相当于数的乘法运算中的1，那么，对于矩阵A，如果存在一个矩阵A-1,使得11AAAAE,1则矩阵A称为A的可逆矩阵或逆阵.第三章矩阵的运算二、逆矩阵的概念与性质定义3.2.1设A是一个n阶方阵，若存在n阶方阵B，使得AB=BA=E则称A可逆的，并称B为A的逆矩阵.1252例如AB,2521有AB

2、=BA=E，所以A与B互为逆阵.第三章矩阵的运算说明若A是可逆矩阵，则A的逆矩阵是唯一的.若设B和C是A的可逆矩阵，则有ABBAE,ACCAE,可得BEBCABCABCEC.所以A的逆矩阵是唯一的,记作A-11BCA.第三章矩阵的运算设a11a12a1naaaA21222naaan12nnn我们构造矩阵AAA1121n1*A12A22An2称为A的伴随矩阵.AAAA12nnnn第三章矩阵的运算Aij由于aAaAaAi1j1i2j2in

3、jn0ijAijaAaAaA1i1j2i2jninj可得：0ij

4、A

5、000

6、A

7、0AA**AAAE00

8、A

9、11**只要A0，就有A(A)(AA)EAA第三章矩阵的运算定理3.2.1（可逆的充分必要条件）11n阶方阵A可逆

10、A

11、0，而且AA.

12、A

13、证明""(充分)已证.""(必要)11若A可逆，则存在A，使得AAE11两边取行列式，得

14、AA

15、

16、AA

17、

18、

19、

20、E

21、1所以

22、A

23、0.第三章矩阵的运算推论若A是n阶矩阵，且存在n阶矩阵B，使AB=E或BA=E

24、则A可逆，且B为A的逆矩阵.证明：设AB=E则

25、AB

26、

27、AB

28、

29、

30、

31、E

32、1所以

33、A

34、0,由定理可知，A可逆.设其逆矩阵为A-1,则有1A1()ABAE1A1BEB()AAB1同理可证，若BA=E，则BA.第三章矩阵的运算121例1判断A310是否可逆？若可逆，求其逆矩阵.102解：由于A90，故A可逆，又A11=-2，A21=4，A31=4，A12=-2，A22=-3，A32=-3241A13=1，A23=-2，A33=-5，于是9992412111*11AA

35、633333A9125125999第三章矩阵的运算逆矩阵的性质11若A可逆,则A,A亦可逆,且1111(A)A,(A)(A).2若AA可逆,数0,则可逆,且111AA.3若AB,均可逆,则AB亦可逆,且111(AB)BA第三章矩阵的运算111证明：(1)AAAAEA可逆.11且有(AA).又AA0，A可逆,11对AAAAE，两边取转置得11(AA)11()(A)AAA()En(2)A

36、A0(nA为的阶数)A可逆.11又AAAAE1111111(A)(A)(A)(A)E，即(AA)第三章矩阵的运算(3)ABAB0,AB可逆.1111又(AB)(BA)ABB()AE111ABBA.推广到一般，如果n阶矩阵AA,,，A都可逆，那么12kAAA可逆，且有12k1111（AAA）AAA.12kk21第三章矩阵的运算三、典型例题1231321例2A221,B,C20,5334331求矩阵X使满足AXB

37、C.12321解A22120,B10,5334311A,B都存在.第三章矩阵的运算1323111且AB32352,,521111111又由AXBCAAXBBACBE11XACB.11于是XACB132133132352205211131第三章矩阵的运算11213102104.52021041532例3解矩阵方程1;

38、X14141