资源描述:
《概率论与数理统计-第三章》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、chapter31第3章多维随机向量及其分布3.1多维随机向量及其分布函数3.2离散型二维随机向量3.3连续型二维随机向量3.4随机变量的独立性*3.5条件分布3.6二维随机向量函数的分布3.7二维正态分布*3.8n维随机向量chapter32引例身高X体重Ychapter33§3.1多维随机向量及其分布函数定义3.1如果样本空间Ω中的样本点同时对应着n个随机变量X1,X2,…,Xn,以这n个随机变量为分量的向量称为n维随机向量(X1,X2,…,Xn)的联合分布函数。称为n维随机向量或n元随机变
2、量.下面主要讨论二维随机向量.一、多维随机向量的概念chapter34二、随机向量的联合分布函数1.二维随机向量的联合分布函数称为二维随机向量(X,Y)的分布函数或X和Y的联合分布函数。定义3.2设有二维随机向量(X,Y),对于任意实数x,y,记二元函数chapter35联合分布函数的概率意义Yo(x,y)(X,Y)x联合分布函数的概率意义:F(x,y)表示平面上的随机点(X,Y)落在以(x,y)为右上顶点的无穷矩形中的概率。如下图.chapter36二维矩形区域概率的计算利用概率加法的多除少补原
3、理,如图所示,0abYXdcchapter37三、二维随机向量联合分布函数的性质(2)F(x,y)分别对x和y单调不减,即对任意固定的y,当x14、10§3.2离散型二维随机向量定义3.3如果二维随机向量(X,Y)的全部取值(数对)为有限个或至多可列个,且以确定的概率取这些值,则称随机向量(X,Y)为离散型二维随机向量.显然,其中每个分量均为离散型随机变量.一、离散型二维随机向量的概念chapter311二、联合概率函数定义3.4设离散型二维随机向量(X,Y)的可能值为(xi,yj),其概率记为或记为称之为(X,Y)的概率函数,或X与Y的联合概率函数,或X与Y的联合分布律。即chapter312联合概率函数可用如下的表格来表示:称之为一维表.
5、(X,Y)Pchapter313称之为二维表chapter314三、联合概率函数的性质类似一维随机变量,二维随机向量联合概率函数有如下性质:chapter315对于集合={(xi,yj)
6、i,j=1,2,…}的任意一个子集A,则事件{(X,Y)∈A}的概率为由上式,可得(X,Y)的联合分布函数为由联合概率函数可求出联合分布函数chapter316随机向量(X,Y)中每一个随机变量X、Y的概率函数,称为关于X、Y的边缘概率函数.四、边缘概率函数X的概率函数Y的概率函数或记为chapter317联合
7、概率与边缘概率的关系如下表y1y2yjp12p22.pi2.p1jp2jpij`PYPX1x1x2.xi..YXp11P21.pi1边缘分布边缘分布chapter318即同理,可证p·j{j=1,2,…}.chapter319例1二维两点分布(0,0)(1,1)1-pp(X,Y)P设(X,Y)只取(0,0)和(1,1)两个点,且取(1,1)的概率为p,取(0,0)的概率为1-p,(X,Y)的分布如表所示.01PYYX011-p00p1-ppPX1-pp1X、Y均服从0-1分布。也可列成二维联合概率
8、分布表chapter320例2同一品种的5件产品中,有2件次品3件正品。每次从中任取一件检验质量,连续取两次.用X、Y分别表示第一、第二次取到的次品数,分别对不放回抽样与有放回抽样两种情况,写出X与Y的联合分布并求边缘分布.解:随机向量(X,Y)的所有可能值为(0,0),(0,1),(1,0),(1,1).①不放回抽样:X可能取值为0,1,Y可能取值为0,1连续两次都取到正品chapter321chapter322它与第一章学过的全概率公式是否一致?思考:联合分布及边缘分布如下表:其中同样方法可求
9、得其他值.chapter323②有放回抽样:事件{X=i},{Y=j}相互独立,所以同样方法可求得其他值.chapter324联合分布及边缘分布见下表:注:两种情况下的边缘分布相同.因为抽取结果与次数无关!参见第一章例题:抽签的合理性.chapter325补例2设随机变量Y服从标准正态分布N(0,1),令求(X1,X2)的联合概率分布.解:(X1,X2)可以取(0,0),(0,1),(1,0),(1,1),四个值.P{X1=0,X2=0}=P{
10、Y
11、≥1,
12、Y
13、≥2}=P{
14、Y
15、≥