概率论与数理统计第三章

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1、第三章多维随机变量及其分布§3.1二维随机变量的联合分布1.定义(p41)将n个随机变量X1，X2，...,Xn构成一个n维向量(X1,X2,...,Xn)称为n维随机变量。一维随机变量X——R1上的随机点坐标二维随机变量(X,Y)——R2上的随机点坐标n维随机变量(X1,X2,…,Xn)———Rn上的随机点坐标多维随机变量的研究方法也与一维类似，用分布函数、概率密度、或分布律来描述其统计规律(一)、多维随机变量二维随机变量的例子设(X,Y)是二维随机变量，(x,y)R2,则称F(x,y)=P{Xx,Yy}为(X,Y)的分布函数，或X与Y的联合分布

2、函数。(二).联合分布函数几何意义：分布函数F()表示随机点(X,Y)落在区域中的概率。一个重要的公式yxox1x2y1y2(X,Y)(x2,y2)(x2,y1)(x1,y2)(x1,y1)分布函数F(x,y)具有如下性质：(1)归一性对任意(x,y)R2,0F(x,y)1,(2)单调不减对任意yR,当x1

3、－F(x1,y2)－F(x2,y1)＋F(x1,y1)0.反之，任一满足上述四个性质的二元函数F(x,y)都可以作为某个二维随机变量(X,Y)的分布函数。例已知二维随机变量(X,Y)的分布函数为1)求常数A，B，C。2)求P{0

4、散型随机变量(X,Y)的分布律，或随机变量X与Y的联合分布律.可记为(X,Y)～P{X＝xi,Y＝yj,}＝pij，(i,j＝1,2,…)，XYy1y2…yj…p11p12...P1j...p21p22...P2j...pi1pi2...Pij...........................联合分布律的性质(1)pij0,i,j＝1,2,…；(2)x1x2xi二维离散型随机变量的分布律也可列表表示如下:例1例1（续）例1（续）()的联合分布律为，由此得YX(四).二维连续型随机变量及其密度函数1、定义对于二维随机变量(X,Y)，若存在一个非负可积

5、函数f(x,y)，使对(x,y)R2，其分布函数则称(X,Y)为二维连续型随机变量，f(x,y)为(X,Y)的密度函数(概率密度)，或X与Y的联合密度函数，可记为(X,Y)～f(x,y)，(x,y)R22、联合密度f(x,y)的性质(1)非负性：f(x,y)0,(x,y)R2;(2)归一性：反之，具有以上两个性质的二元函数f(x,y)，必是某个二维连续型随机变量的密度函数。此外，f(x,y)还有下述性质(3)若f(x,y)在(x,y)R2处连续，则有(4)对于任意平面区域GR2,在几何上z=f(x,y)表示空间的一个面，上式即表示P{(X,

6、Y)G}的值等于以G为底，以曲面z=f(x,y)为顶的柱体体积例2x+y=1x=1y=2()度函数为的密，设二维随机变量YX试求概率积分区域如图所示，yx+y=1x=1y=2y3.两个常用的二维连续型分布(1)二维均匀分布(p45)若二维随机变量(X,Y)的密度函数为则称(X,Y)在区域D上(内)服从均匀分布。易见，若（X，Y）在区域D上(内)服从均匀分布，对D内任意区域G，有其中，1、2为实数，1>0、2>0、

7、

8、<1，则称(X,Y)服从参数为1,2,1,2,的二维正态分布，可记为(2)二维正态分布N(1,2,1,2,)

9、若二维随机变量(X,Y)的密度函数为(P101)分布函数的概念可推广到n维随机变量的情形。事实上，对n维随机变量(X1,X2,…,Xn)，F(x1,x2,…,xn)＝P(X1x1,X2x2,…,Xnxn)称为的n维随机变量(X1,X2,…,Xn)的分布函数，或随机变量X1,X2,…,Xn的联合分布函数。定义n维随机变量(X1,X2,...Xn)，如果存在非负的n元函数f(x1,x2,...xn)使对任意的n元立方体定义若(X1,X2,...Xn)的全部可能取值为Rn上的有限或可列无穷多个点，称(X1,X2,...Xn)为n维离散型的，称P{X1=x

10、1,X2=x2,...Xn=xn}，(x1,x2,...xn)为n维随机变量(X