概率论与数理统计 第三章

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1、概率论与数理统计课件第三章随机变量的数字特征§3.1数学期望§3.2方差§3.3协方差与相关系数概率论与数理统计课件N李o建t峰e:§3.1数学期望(Mathematicalexpectation)一、离散型随机变量数学期望1.甲,乙两人射击例4.1甲,乙进行射击，成绩如下：问谁的枪法准？的平均环数反映了两人射击水平环数8910环数8910的差异.P0.40.20.4P0.10.70.2甲乙2概率论与数理统计课件N李o建t峰e:定义3.1设离散型随机变量X的分布律为1.定义3.1给出计算均值的条件和方式.

2、PXxiipi,1,2,,若∑xipi绝对收敛,则定义X的数学期望(或均值)为EX=∑xipi例3.2设用一个匀称的骰子来玩游戏.在这样的游戏中，若骰子向上为2点，则玩游戏的人赢20元，若向上为4点则赢40元，若向上为6点则输30元，若其它的面向上，则玩游戏的人既不赢也不输，求玩游戏的人赢得钱数的期望.3概率论与数理统计课件N李o建t峰e:几个常用的离散型随机变量的EX:1.两点分布：X~B(1,p)，EX=p2.泊松分布：X~P(λ)，EX=λ3.二项分布：X~B(n,p)，EX=np4概率论与数

3、理统计课件N李o建t峰e:二、连续型随机变量数学期望定义3.2设连续型随机变量X的概率密度为f(x),1.定义给出计算均值的前提和方若xfxdx()绝对收敛，则定义X的数学期望为式。EXxfxdx()cos,0xx例3.3设随机变量Xfx2,0,其它求EX.5概率论与数理统计课件N李o建t峰e:几个常用的连续型随机变量的EX:1.随机变量的参数和数字特征1.均匀分布：X~U(a,b)，EX=(a+b)/2之间有非常重要的关系。2.指数分布：X~E(λ)，EX=1

4、/λ3.正态分布：X~N(μ,σ2),EX=μ6概率论与数理统计课件N李o建t峰e:三、随机变量函数的数学期望⒈一维随机变量函数的情形：定理3.1设X是随机变量，Y=g(X);(1)当X是离散型随机变量,分布律为：P{Xi=xi}=pi,（i=1,2,…;）若级数∑g(xi)pi绝对收敛，则EY=∑g(xi)pi.1.求EY时，不必知道Y的分布,只需已知的X(2)当X是连续型随机变量,概率密度为f(x)，分布。若积分gxfxdx()绝对收敛，则EYgxfxdx()().7概率论与数理统

5、计课件N李o建t峰e:2例3.4设X的分布律如下，Y=XXZ,2X1X8910P0.10.80.1求EYEZ,.例3.5设X服从0,2上的均匀分布,YsinX,求EY.8概率论与数理统计课件N李o建t峰e:例3.6（组织多少货源收益最大）设某种产品的市场需求量是随机变量X(单位:t)，且X~U(2000,4000).若每销售一吨该产品，则获利3万元，若销售不出囤积，则每吨需保管费1万元.问:应组织多少吨货源才能获利最大？9概率论与数理统计课件N李o建t峰e:⒉二维随机变量函数的情形：定

6、理3.2设(X,Y)是随机变量，Z=g(X,Y)：(1)当(X,Y)是离散型随机变量，其分布律为：P{X=xi,Y=yj}=pij,（i,j=1,2,…;）若级数∑∑g(xi,yj)pij绝对收敛，则EZ=∑∑g(xi,yj)pij(2)当(X,Y)是连续型随机变量，概率密度为f(x,y),若gxyfxydxdy(,)(,)，则EZgxyfxydxdy(,)(,).10概率论与数理统计课件N李o建t峰e:y例3.7设(XY,)的联合概率密度为xy2xy,(,)

7、xyG2fxy(,),求E(2XY).0,(,)xyGGxo211概率论与数理统计课件N李o建t峰e:★在给出相应分布且满足一定收敛性的条件下，下面流程图帮助理解与记忆：XY=g(X)Z=g(X,Y)离散型:EX=∑xipiEY=∑g(xi)piEZ=∑∑g(xi,yj)pij定积分定义连续型:EXxfxdx().EYgxfxdx()().EZgxyfxydxdy(,)(,).12概率论与数理统计课件N李o建t峰e:四、数学期望的性质1.若C是常数，则E(

8、C)=C.2.若C是常数，则E(CX)=CE(X).3.设X,Y为随机变量，则E(X+Y)=E(X)+E(Y).推广：E(X1+X2+…+Xn)=E(X1)+E(X2)+…+E(Xn)4.设X,Y为相互独立随机变量，则1.掌握如何应用这些性质简化问题.E(XY)=E(X)E(Y)推广：若X1,X2,…,Xn相互独立,则E(X1X2…Xn)＝E(X1)E(X2)…E(Xn)13概率论与数