概率论与数理统计_第三章

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1、河南理工大学精品课程概率论与数理统计二维随机变量边缘分布随机变量的独立性二维随机变量函数的分布第三章多维随机变量及其分布§1、二维随机变量一、概念定义1设在试验E的样本空间S={e}上定义了两个随机变量X、Y,称向量(X,Y)为二维随机变量或二维随机向量.二维随机变量(X,Y)不仅与各个随机变量X,Y有关,也与X,Y间的内在联系有关.因此,不能试图通过单独研究随机变量X,Y而来了解二维随机变量(X,Y),必须将(X,Y)作为一个整体来研究.类似于一维随机变量,我们也可利用“分布函数”来研究二维随机变量(X,Y),并且分别就离散型与连续型来加以分析.请你注意定义2设(

2、X,Y)为二维随机变量,称二元函数为二维随机变量(X,Y)的分布函数,也称为随机变量X与Y的联合分布函数,其中为任意实数.分布函数在点处的函数值就是事件“随机点(X,Y)落在以点为右上顶点的角形区域”的概率.二、分布函数及其性质定义域为全平面分布函数具有下列基本性质:关于x、y均单调不减右连续.对任意点均有：分布函数与离散型二维随机变量分布律、连续型二维随机变量概率密度的关系[见后].随机向量落在矩形区域的概率三、离散型二维随机变量1、概念定义3如果二维随机变量(X,Y)所有可能取值为有限个或可列无限个点,则称(X,Y)为二维离散型随机变量.2、分布律设二维

3、离散型随机变量(X,Y)可能取值为则(X,Y)的分布律(概率分布)[X与Y的联合分布律]为分布律满足:分布律可用表格表示:XY[概率的非负性][概率的规范性]【例1】[P.71]将一枚硬币连抛三次,以X表示在“三次中出现正面的次数”,Y表示“三次中正、反面次数差的绝对值”,求X与Y的联合分布律.〖解〗X取值0,1,2,3;Y取值1,3.基本事件总数为8.X与Y的联合分布律为:P{X=0,Y=1}=P(φ)=0;P{X=0,Y=3}=1/8;[TTT]P{X=1,Y=1}=3/8;[HTT,THT,TTH]P{X=1,Y=3}=P(φ)=0;P{X=2,Y=1}=

4、3/8;[HHT,HTH,THH]P{X=2,Y=3}=P(φ)=0;P{X=3,Y=1}=P(φ)=0;P{X=3,Y=3}=1/8.[HHH]古典概率例1-续X与Y的联合分布律为：□二维离散型随机变量的分布列形象化解释设想将一单位质量的物质分配在（X，Y）所有可能取值的点处，相应分配的量就是对应的概率值。这样一来，随机变量取值落在某个平面区域G上的概率就等于G内各可能取值点处概率之和。请自学P.72:例2。四、连续型二维随机变量1、概念定义4设为二维随机变量(X,Y)分布函数,如果存在非负函数使对任意实数有则称(X,Y)为二维连续型随机变量,其中称为随机变量(X

5、,Y)的概率密度,或称为随机变量X与Y的联合概率密度.2、概率密度及其性质概率密度具有下列性质:设G为平面xoy上的一个区域,则随机点(X,Y)落在G内的概率为:[曲顶柱体体积][确定待定参数]概率密度性质若在点处连续,则有[由分布函数求概率密度][由概率密度求分布函数]【例2】(典型题）设r.v.(X,Y)的概率密度为〖解〗由概率密度性质得(1)确定C的值;(2)求(X,Y)的分布函数;(3)求概率(1)因为所以故例2-续1(2)由概率密度求分布函数.解题思路画出联合概率密度的非零区域;点(x,y)在全平面范围内取值;综合上述两点得出就(x,y)

6、的分段情形.例2-续2本例中分布函数应分为两段来计算:就x>0,y>0与“其它”。利用重积分对积分区域的可加性,只保留非零积分例2-续3(3)求概率P{Y≤X}.只需在概率密度f的非零区域与事件区域G={(x,y)

7、y≤x}的交集D上积分.由公式得:例2-续4本例是一个典型题.大家应熟练掌握分析与计算的方法。特别是会根据不同形状的概率密度非零区域与所求概率的事件区域G来处理这类问题。□就P.73:例3来共同考虑如何分段?应分几段?怎样计算各段值?(板书)二维均匀分布设G为一个平面有界区域,其面积为A.如果二维连续型随机变量(X,Y)的概率密度为则称(X,Y)服从区

8、域G上的均匀分布,记为(X,Y)~U(G).1、二维均匀分布两种常见的二维连续型分布二维正态分布设二维连续型随机变量(X,Y)的概率密度为2、二维正态分布其中均为常数,称(X,Y)为服从参数为的二维正态分布,记为§2、边缘分布一、边缘分布函数及其求法设二维随机变量(X,Y)的分布函数为,X与Y作为单个随机变量的分布函数分别为,称分别为二维随机变量(X,Y)关于X和关于Y的边缘分布函数.问题:联合分布(函数)与边缘分布(函数)有什么关系?结论:联合分布(函数)边缘分布(函数)但当X与Y相互独立时,联合分布(函数)与边缘分布(函数)可相互确定.[§3]设二维随机变量