概率论与数理统计-第三章

《概率论与数理统计-第三章》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、chapter31第3章多维随机向量及其分布3.1多维随机向量及其分布函数3.2离散型二维随机向量3.3连续型二维随机向量3.4随机变量的独立性*3.5条件分布3.6二维随机向量函数的分布3.7二维正态分布*3.8n维随机向量chapter32引例身高X体重Ychapter33§3.1多维随机向量及其分布函数定义3.1如果样本空间Ω中的样本点同时对应着n个随机变量X1，X2，…,Xn，以这n个随机变量为分量的向量称为n维随机向量(X1，X2，…,Xn)的联合分布函数。称为n维随机向量或n元随机变

2、量.下面主要讨论二维随机向量.一、多维随机向量的概念chapter34二、随机向量的联合分布函数1.二维随机向量的联合分布函数称为二维随机向量(X,Y)的分布函数或X和Y的联合分布函数。定义3.2设有二维随机向量(X,Y),对于任意实数x,y,记二元函数chapter35联合分布函数的概率意义Yo(x,y)(X,Y)x联合分布函数的概率意义:F(x,y)表示平面上的随机点(X,Y)落在以(x,y)为右上顶点的无穷矩形中的概率。如下图.chapter36二维矩形区域概率的计算利用概率加法的多除少补原

3、理,如图所示,0abYXdcchapter37三、二维随机向量联合分布函数的性质(2)F(x,y)分别对x和y单调不减,即对任意固定的y,当x1

4、10§3.2离散型二维随机向量定义3.3如果二维随机向量(X,Y)的全部取值(数对)为有限个或至多可列个,且以确定的概率取这些值，则称随机向量（X,Y）为离散型二维随机向量.显然，其中每个分量均为离散型随机变量.一、离散型二维随机向量的概念chapter311二、联合概率函数定义3.4设离散型二维随机向量（X，Y）的可能值为(xi,yj)，其概率记为或记为称之为（X，Y）的概率函数，或X与Y的联合概率函数,或X与Y的联合分布律。即chapter312联合概率函数可用如下的表格来表示:称之为一维表.

5、(X,Y)Pchapter313称之为二维表chapter314三、联合概率函数的性质类似一维随机变量,二维随机向量联合概率函数有如下性质:chapter315对于集合＝{(xi,yj)

6、i,j=1,2,…}的任意一个子集A,则事件{(X,Y)∈A}的概率为由上式，可得（X,Y）的联合分布函数为由联合概率函数可求出联合分布函数chapter316随机向量(X,Y)中每一个随机变量X、Y的概率函数,称为关于X、Y的边缘概率函数.四、边缘概率函数X的概率函数Y的概率函数或记为chapter317联合

7、概率与边缘概率的关系如下表y1y2yjp12p22.pi2.p1jp2jpij`PYPX1x1x2.xi..YXp11P21.pi1边缘分布边缘分布chapter318即同理，可证p·j{j=1,2,…}.chapter319例1二维两点分布（0,0）（1,1）1-pp（X,Y）P设（X,Y）只取（0,0）和(1,1)两个点,且取(1,1)的概率为p,取(0,0)的概率为1-p,（X,Y）的分布如表所示.01PYYX011-p00p1-ppPX1-pp1X、Y均服从0－1分布。也可列成二维联合概率

8、分布表chapter320例2同一品种的5件产品中，有2件次品3件正品。每次从中任取一件检验质量，连续取两次.用X、Y分别表示第一、第二次取到的次品数，分别对不放回抽样与有放回抽样两种情况，写出X与Y的联合分布并求边缘分布.解：随机向量(X,Y)的所有可能值为(0,0),(0,1),(1,0),(1,1).①不放回抽样:X可能取值为0,1，Y可能取值为0,1连续两次都取到正品chapter321chapter322它与第一章学过的全概率公式是否一致？思考：联合分布及边缘分布如下表：其中同样方法可求

9、得其他值.chapter323②有放回抽样:事件{X=i},{Y=j}相互独立，所以同样方法可求得其他值.chapter324联合分布及边缘分布见下表：注:两种情况下的边缘分布相同.因为抽取结果与次数无关！参见第一章例题:抽签的合理性.chapter325补例2设随机变量Y服从标准正态分布N(0,1)，令求（X1,X2）的联合概率分布.解：（X1,X2）可以取(0,0),(0,1),(1,0),(1,1),四个值.P{X1=0,X2=0}=P{

10、Y

11、≥1,

12、Y

13、≥2}=P{

14、Y

15、≥