变化率与导数、导数的计算高考数学第一轮考点复习

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1、1．导数的概念(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数一般地，函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是(2)导函数当x变化时，f′(x)称为f(x)的导函数，则f′(x)＝注意f′(x)及f′(x0)的区别，f′(x)是一个函数，f′(x0)是常数，f′(x0)是函数f′(x)在点x0处的函数值．导数研究在x＝x0处及其附近函数的改变量Δy与自变量的改变量Δx之比的极限，它是一个局部性的概念，若存在，则函数y＝f(x)在x＝x0处就有导数，否则就没有导数.2．导数的几何意义函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的几何

2、意义，就是曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线的，过点P的切线方程为：．斜率y－y0＝f′(x0)(x－x0)3．基本初等函数的导数公式(1)c′＝(c为常数)；(2)(xn)′＝(n∈N*)；(3)(sinx)′＝；(4)(cosx)′＝；(5)(ex)′＝；(6)(ax)′＝；(7)(lnx)′＝；(8)(logax)′＝.0nxn－1cosx－sinxexaxlna4．导数运算法则(1)[f(x)±g(x)]′＝；(2)[f(x)·g(x)]′＝；f′(x)±g′(x)f′(x)g(x)＋f(x)g′

3、(x)关于导数的加减法则，可推广到有限多个的情况，如[f(x)＋g(x)＋h(x)]′＝f′(x)＋g′(x)＋h′(x)等.5．复合函数的导数设函数u＝φ(x)在点x处有导数u′＝φ′(x)，函数y＝f(u)在点x的对应点u处有导数y′＝f′(u)，则复合函数y＝f(φ(x))在点x处也有导数，且y′x＝或写作f′x(φ(x))＝．y′u·u′xf′(u)·φ′(x)答案：B解析：y′＝x2－2x，∴y′

4、x＝1＝－1.∴切线的倾斜角为.答案：B3．设y＝f(x)是二次函数，方程f(x)＝0有两个相等实根且f′(

5、x)＝2x＋2，则y＝f(x)的表达式是________．解析：根据题意，知方程f(x)＝0有两个相等实根，可设f(x)＝a(x＋b)2，∴f′(x)＝2a(x＋b)．∴2a(x＋b)＝2x＋2.∴2a＝2,2ab＝2.∴a＝1，b＝1.∴f(x)＝(x＋1)2.答案：f(x)＝(x＋1)24．函数y＝的导数为________．【例1】一物体在某一受力状态下的位移s(t)(单位：m)与运动时间t(单位：s)的关系为：s(t)＝t3(t>0)．(1)利用导数的定义求s′(t)；(2)求该物体在t＝2秒时的瞬时速度v(

6、2)．(1)会根据定义求导数．(2)注意导数的意义的应用，如导数的几何意义是切线的斜率；位移关于时间t的导数为瞬时速度；速度v(t)关于时间t的导数为加速度.变式迁移1用导数的定义求函数y＝x2＋ax＋b(a，b为常数)的导数．思路分析：先正确地分析函数是由哪些基本函数经过怎样的顺序复合而成；求导时，可设出中间变量，注意要逐层求导不能遗漏，每一步对谁求导，不能混淆．(2)设u＝2x－3，则y＝(2x－3)5由y＝u5与u＝2x－3复合而成，∴y′＝f′(u)·u′(x)＝(u5)′(2x－3)′＝5u4·2＝10u

7、4＝10(2x－3)4.解：(1)∵y＝(3x3－4x)(2x＋1)＝6x4＋3x3－8x2－4x，∴y′＝24x3＋9x2－16x－4.或y′＝(3x3－4x)′(2x＋1)＋(3x3－4x)(2x＋1)′＝(9x2－4)(2x＋1)＋(3x3－4x)·2＝24x3＋9x2－16x－4.(2)y′＝(3xex)′－(2x)′＋(e)′＝(3x)′ex＋3x(ex)′－(2x)′＝3xln3·ex＋3xex－2xln2＝(ln3＋1)(3e)x－2xln2.【例3】已知函数f(x)＝x3＋x－16.(1)求曲线y＝

8、f(x)在点(2，－6)处的切线的方程；(2)直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标；(3)如果曲线y＝f(x)的某一切线与直线y＝－x＋3垂直，求切点坐标与切线的方程．解：(1)可判定点(2，－6)在曲线y＝f(x)上．∵f′(x)＝(x3＋x－16)′＝3x2＋1，∴f′(x)在点(2，－6)处的切线的斜率为k＝f′(2)＝13.∴切线的方程为y＝13(x－2)＋(－6)，即y＝13x－32.根据条件列方程或方程组是解决该问题的主要方法，灵活运用x＝x0处的导数就是该点处的切线的斜

9、率是解决有关切线问题的关键．由导数的几何意义可知，点(x0，f(x0))处的切线方程为y＝f′(x0)(x－x0)＋f(x0)．变式迁移3(2009·江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，点P在曲线C：y＝x3－10x＋3上，且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线的斜率为2，则点P的坐标为________．解析：由曲线C：y＝x3－10x＋3，得y′＝3x2－