2019高考数学 考点突破——导数及其应用与定积分：变化率与导数、导数的计算学案

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1、变化率与导数、导数的计算【考点梳理】1．导数的概念(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数：①定义：称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率＝为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′

2、x＝x0即f′(x0)＝＝.②几何意义：函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．(2)函数f(x)的导函数：称函数f′(x)＝为f(x)的导函数．2．基本初等函数的导数公式原函

3、数导函数f(x)＝xn(n∈Q*)f′(x)＝n·xn－1f(x)＝sinxf′(x)＝cos_xf(x)＝cosxf′(x)＝－sin_xf(x)＝axf′(x)＝axln_a(a＞0)f(x)＝exf′(x)＝exf(x)＝logaxf′(x)＝f(x)＝lnxf′(x)＝3．导数的运算法则(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；(3)′＝(g(x)≠0)．【考点突破】考点一、导数的计算【例1】(1)已知函数f(

4、x)＝(2x＋1)ex，f′(x)为f(x)的导函数，则f′(0)的值为________.(2)已知函数y＝f(x)的导函数为f′(x)且f(x)＝x2f′＋sinx，则f′＝________.(3)已知f(x)＝xlnx，若f′(x0)＝2，则x0等于(　　)A．e2B．eC．D．ln2[答案](1)3(2)(3)B[解析](1)因为f(x)＝(2x＋1)ex，所以f′(x)＝2ex＋(2x＋1)ex＝(2x＋3)ex，所以f′(0)＝3e0＝3.(2)因为f(x)＝x2f′＋sinx，所以f′(x)

5、＝2xf′＋cosx.所以f′＝2××f′＋cos.所以f′＝.(3)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝lnx＋1，由f′(x0)＝2，即lnx0＋1＝2，解得x0＝e.【类题通法】熟记基本初等函数的导数公式及运算法则是导数计算的前提，求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量提高运算速度，减少差错．【对点训练】1．已知函数f(x)＝(x2＋2)(ax2＋b)，且f′(1)＝2，则f′(－1)＝(　　)A．－1　　　　　　　　　B．－2C．2D．0[答案

6、]B[解析]f(x)＝(x2＋2)(ax2＋b)＝ax4＋(2a＋b)x2＋2b，f′(x)＝4ax3＋2(2a＋b)x为奇函数，所以f′(－1)＝－f′(1)＝－2.2．f(x)＝x(2017＋lnx)，若f′(x0)＝2018，则x0等于(　　)A．e2　　　　B．1C．ln2　　　　D．e[答案]B[解析]f′(x)＝2017＋lnx＋x×＝2018＋lnx，故由f′(x0)＝2018，得2018＋lnx0＝2018，则lnx0＝0，解得x0＝1.3．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f

7、(x)＝2x·f′(1)＋lnx，则f′(1)等于(　　)A．－eB．－1C．1D．e[答案]B[解析]由f(x)＝2xf′(1)＋lnx，得f′(x)＝2f′(1)＋，∴f′(1)＝2f′(1)＋1，则f′(1)＝－1.考点二、导数的几何意义【例2】已知函数f(x)＝x3－4x2＋5x－4.(1)求曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；(2)求经过点A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程．[解析](1)∵f′(x)＝3x2－8x＋5，∴f′(2)＝1，又f(2)＝－2，∴曲线在点(2，f(2)

8、)处的切线方程为y＋2＝x－2，即x－y－4＝0.(2)设曲线与经过点A(2，－2)的切线相切于点P(x0，x－4x＋5x0－4)，∵f′(x0)＝3x－8x0＋5，∴切线方程为y－(－2)＝(3x－8x0＋5)(x－2)，又切线过点P(x0，x－4x＋5x0－4)，∴x－4x＋5x0－2＝(3x－8x0＋5)(x0－2)，整理得(x0－2)2(x0－1)＝0，解得x0＝2或1，∴经过点A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程为x－y－4＝0，或y＋2＝0.【类题通法】求切线方程时，注意区分曲线在某点处的

9、切线和曲线过某点的切线，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线方程是y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)；求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再依据已知点在切线上求解.【对点训练】已知曲线y＝x3＋.(1)求曲线在点P(2，4)处的切线方程；(2)求曲线过点P(2，4)的切线方程．[解析](1)根据已知得点P(2，4)是切点且y′＝x2，∴在点P(2，4)处的切线的斜率为y′＝4，∴曲线在点P(2，4)处的切线方程为y－4