2019高考数学考点突破——导数及其应用与定积分：导数与函数的极值、最值学案.doc

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1、导数与函数的极值、最值【考点梳理】1．函数的极值与导数的关系(1)函数的极小值与极小值点若函数f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数的极小值点，f(a)叫做函数的极小值．(2)函数的极大值与极大值点若函数f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数的极大值点，f(b)叫做函数的极大值．2．函数的最值与导数的关系(1)函数

2、f(x)在[a，b]上有最值的条件如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．(2)求y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．【考点突破】考点一、利用导数研究函数的极值问题【例1】已知函数f(x)＝lnx－ax(a∈R).(1)当a＝时，求f(x)的极值；(2)讨论函数f(x)在定义域内极值点的个数.[解析](1)当a＝时，f(x)＝lnx－x，函数的定义域

3、为(0，＋∞)且f′(x)＝－＝，令f′(x)＝0，得x＝2，于是当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如表.x(0，2)2(2，＋∞)f′(x)＋0－f(x)单调递增ln2－1单调递减故f(x)在定义域上的极大值为f(x)极大值＝f(2)＝ln2－1，无极小值.(2)由(1)知，函数的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－a＝(x>0).当a≤0时，f′(x)>0在(0，＋∞)上恒成立，即函数在(0，＋∞)上单调递增，此时函数在定义域上无极值点；当a>0时，当x∈时，f′(x)>0，当x∈时，f′(x)<0，故函数在x＝处有极大值.综上可知，当a≤0时，函数

4、f(x)无极值点，当a>0时，函数y＝f(x)有一个极大值点，且为x＝.【例2】(1)若函数f(x)＝－x2＋x＋1在区间上有极值点，则实数a的取值范围是(　　)A．　　　　　　　　B．C．D．(2)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx－a2－7a在x＝1处取得极大值10，则的值为(　　)A．－　　　　　　　　　B．－2C．－2或－D．2或－[答案](1)D　(2)A[解析](1)因为f(x)＝－x2＋x＋1，所以f′(x)＝x2－ax＋1.函数f(x)＝－x2＋x＋1在区间上有极值点可化为f′(x)＝x2－ax＋1＝0在区间上有解，即a＝x＋在区间上有解，设t

5、(x)＝x＋，则t′(x)＝1－，令t′(x)>0，得1

6、)有极大值f(2)和极小值f(－2)D．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)[答案]D[解析]由题图可知，当x＜－2时，f′(x)＞0；当－2＜x＜1时，f′(x)＜0；当1＜x＜2时，f′(x)＜0；当x＞2时，f′(x)＞0.由此可以得到函数f(x)在x＝－2处取得极大值，在x＝2处取得极小值．【类题通法】利用导数研究函数极值的一般流程【对点训练】1．求函数f(x)＝x－alnx(a∈R)的极值．[解析]由f′(x)＝1－＝，x＞0知：(1)当a≤0时，f′(x)＞0，函数f(x)为(0，＋∞)上的增函数，函数f(x)无极值；(2)当a＞0时，由f

7、′(x)＝0，解得x＝a.又当x∈(0，a)时，f′(x)＜0；当x∈(a，＋∞)时，f′(x)＞0，从而函数f(x)在x＝a处取得极小值，且极小值为f(a)＝a－alna，无极大值．综上，当a≤0时，函数f(x)无极值；当a＞0时，函数f(x)在x＝a处取得极小值a－alna，无极大值.2．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是(　　)A．(－1,2)B．(－∞，－3)∪(6，＋∞)C．(－3,6)D．(－∞，－1)∪(2，＋∞)[答案]B[解析]∵f′(x)＝3x2＋2ax＋(a＋6)，由已知可得f′(x)＝0

8、有两个不相等的实根，∴Δ