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《2018高考数学考点突破——函数与导数、定积分：导数与函数的极值、最值+含解析》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、导数与函数的极值、最值【考点梳理】1.函数的极值与导数的关系(1)函数的极小值与极小值点若函数/(X)在点x=a处的函数值/(a)比它在点x=a附近其他点的函数值都/(67)=0,而且在点X=Q附近的左侧£(X)<0,右侧厂(X)>0,则点Q叫做函数的极小值点，、他/)叫做函数的极小值.(2)函数的极大值与极大值点若函数./(X)在点x=h处的函数值./(b)比它在点x=b附近其他点的函数值蟄X，f@)=0,而且在点x=b附近的左侧厂(兀)>0,右侧厂(兀)<0,则点b叫做函数的极大值点，几仍叫做函数的极大值.2.函数的最值与导数的关系(1)函数沧)
2、在s，b］上有最值的条件如果在区间S，甸上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,那么它必有最大值和最小值.(2)求歹=.心)在⑷切上的最大(小)值的步骤①求函数y=/(x)在(a,b)内的极值;②将函数y=T(x)的各极值与端点处的函数值fgf⑹比较,其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.【考点突破】考点一、利用导数研究函数的极值问题【例1】设函数./(x)4R±可导，其导函数为f⑴，且函数y=(l—x)/(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是()A.函数/⑴有极大值./(2)和极小值/(I)B.函数人力有极大值X-2)和极小值/
3、(1)C.函数心)有极大值/(2)和极小值X-2)A.函数/W有极大值./(—2)和极小值人2)［答案］D［解析］由题图可知，当x<-2时，/(力>0;当一22时，/(x)>0.由此可以得到函数/(x)在x=~2处取得极大值，在x=2处取得极小值.【例2】求函数/(x)=x—Qlnx(QWR)的极值.［解析］由f(力=1一£=宁，x>0知：兀(1)当aWO时，/(x)>0,函数沧)为(0,+8)上的增函数，函数./(X)无极值;(2)当a>0时，由.厂(兀)=0,解得x=a.又当%e(0,q)
4、时，f(x)<0;当+s)时，f(x)>0,从而函数/(x)在x=a处取得极小值，且极小值为J(a)=a—aa9无极大值.综上，当aWO时，函数几兀)无极值；当a>0时，函数人切在x=q处取得极小值a—alna,无极大值.【例3)⑴已知函数./(x)=x(lnx—ax)有两个极值点，则实数a的取值范围是()(\A.(—8,0)B・0,$乙)C・(0,1)D・(0,+8)(2)已知函数/(x)=x3+^x2+3a—9,若x=—3是函数/(X)的一个极值点，则实数Q=.［答案］(1)B(2)5［解析］(l)V/(x)=x(lnx-ax),:.f(
5、x)=x—2ax+1,故f(兀)在(0,+oo)上有两个不同的零点，A,,lnx+1令(x)=0,则2^=—^—,lnx+1,,—In兀7又*)=—-—，则g(兀)=',/.g(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+8)上单调递减，又：•当x-*0时，g(x)~*—00,当x-^+°°时，g(x)-*O,而g(X)max=g(l)=l,・・・只需OV2dVl=>0VdV*.(2)f(x)=3x2+2ax+3,由题意知工=一3为方程3x2+2ax+3=0的根，Z.3X(_3)2+2qX(_3)+3=0,解得a=5.【类题通法】利用导数研究函数极值的
6、一般流程【对点训练】1.函数/(X)的定义域为开区间(q,b),导函数f(x)在(a,b)内的图象如图所示，则函数./(X)在开区间(d,b)内极小值点的个数为()［答案］A［解析］导函数/(X)的图象与兀轴的交点中，左侧图象在X轴下方，右侧图象在兀轴上方的只有一个，所以/(X)在区间(d,b)内有一个极小值点.2.设J(x)=x3+ax2+bx+l的导数f⑴满足(1)=2q,f(2)=_b,其中常数°,⑴求曲线y=/(x)在点⑴f⑴)处的切线方程；(2)设g(x)=f(x)e求函数g⑴的极值.［解析］(1)由于(x)=3x2+2ajc+bf⑴=3
7、+2a+b=2a,(2)=12+4a+b=—b,b=_3,解得3口=_73所以/(x)=x3—2^2—3x+1,f(x)=3x2—3x—3.于是有/(1)=-
8、.又f⑴=一3,故曲线y=f(x)在点(1,f⑴)处的切线方程为y—(—刖=一3仅一1),即6x+2y-l=0.(2)由(1)知g(x)=(3x2—3x—3)e_x,则9'(x)=(—3x2+9x)e_x,令g‘(x)=0得x=0或x=3,当xWO或x$3时，g'(x)W0,当0WxW3时,g‘(x)20,于是函数g(x)在(一°°,0］上单调递减，在［0,3］上单调递增，在［3,+°°)上单
9、调递减.所以函数g(x)在x=0处取得极小值g(0)=-3,在x=3处取得极大值g(3)=15e-3.1.已
