2019版高考数学复习导数及其应用课时达标检测十六导数与函数的极值最值

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1、课时达标检测(十六）导数与函数的极值、最值一、全员必做题1.(2018·南京金陵中学月考)设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图象如图所示，则f(x)在(－4,2)上的所有极值点之和为________．解析：根据函数y＝(1－x)f′(x)的图象知，当x＜－1时，y＝(1－x)f′(x)＜0,1－x＞0，f′(x)＜0，函数f(x)在(－∞，－1)上单调递减，当－1＜x＜1时，y＝(1－x)f′(x)＞0,1－x＞0，f′(x)＞0，函数f(x)在(－1,1)上单调递增，当x＞1时，y＝(1－x)f′

2、(x)＜0,1－x＜0，f′(x)＞0，函数f(x)在(1，＋∞)上单调递增，所以x＝－1是f(x)的极小值点，且f(x)在(－4,2)上无极大值点，所以f(x)在(－4,2)上的所有极值点之和为－1.答案：－12．已知函数f(x)＝x3＋3x2－9x＋1，若f(x)在区间[k,2]上的最大值为28，则实数k的取值范围为________．解析：由题意知f′(x)＝3x2＋6x－9，令f′(x)＝0，解得x＝1或x＝－3，所以f′(x)，f(x)随x的变化情况如下表：x(－∞，－3)－3(－3,1)1(1，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)单调递

3、增极大值单调递减极小值单调递增又f(－3)＝28，f(1)＝－4，f(2)＝3，f(x)在区间[k,2]上的最大值为28，所以k≤－3.答案：(－∞，－3]3．(2018·江苏省赣榆高级中学模拟)已知函数f(x)＝x2＋2x＋alnx在区间(0,1)内无极值点，则a的取值范围是____________．解析：由题意得f′(x)＝2x＋2＋在区间(0,1)内不变号，即f′(x)＝2x＋2＋≥0在区间(0,1)内恒成立或f′(x)＝2x＋2＋≤0在区间(0,1)内恒成立，因此a≥[－2x(x＋1)]max，x∈(0,1)，而－2x(x＋1)＜0，所

4、以a≥0；或a≤[－2x(x＋1)]min，x∈(0,1)，而－2x(x＋1)＞－4，所以a≤－4.综上a的取值范围是(－∞，－4]∪[0，＋∞)．答案：(－∞，－4]∪[0，＋∞)4．已知函数f(x)＝(k≠0)．求函数f(x)的极值．解：f(x)＝，其定义域为(0，＋∞)，则f′(x)＝－.令f′(x)＝0，得x＝1，当k＞0时，若0＜x＜1，则f′(x)＞0；若x＞1，则f′(x)＜0，所以f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，即当x＝1时，函数f(x)取得极大值.当k＜0时，若0＜x＜1，则f′(x)＜0；若x＞1，

5、则f′(x)＞0，所以f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，即当x＝1时，函数f(x)取得极小值.5．(2018·连云港模拟)已知函数f(x)＝ax－－3lnx，其中a为常数．(1)当函数f(x)的图象在点处的切线的斜率为1时，求函数f(x)在上的最小值；(2)若函数f(x)在区间(0，＋∞)上既有极大值又有极小值，求a的取值范围．解：(1)因为f′(x)＝a＋－，所以f′＝a＝1，故f(x)＝x－－3lnx，则f′(x)＝.由f′(x)＝0得x＝1或x＝2.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x2(2,3)3

6、f′(x)－0＋f(x)1－3ln2从而在上f(x)有最小值，且最小值为f(2)＝1－3ln2.(2)f′(x)＝a＋－＝(x＞0)，由题设可得方程ax2－3x＋2＝0有两个不等的正实根，不妨设这两个根为x1，x2，且x1≠x2，则解得0＜a＜.故所求a的取值范围为.二、重点选做题1．(2018·昆明模拟)已知常数a≠0，f(x)＝alnx＋2x.(1)当a＝－4时，求f(x)的极值；(2)当f(x)的最小值不小于－a时，求实数a的取值范围．解：(1)由已知得f(x)的定义域为x∈(0，＋∞)，f′(x)＝＋2＝.当a＝－4时，f′(x)＝

7、.所以当0＜x＜2时，f′(x)＜0，即f(x)单调递减；当x＞2时，f′(x)＞0，即f(x)单调递增．所以f(x)只有极小值，且在x＝2时，f(x)取得极小值f(2)＝4－4ln2.所以当a＝－4时，f(x)只有极小值4－4ln2.(2)因为f′(x)＝，所以当a＞0，x∈(0，＋∞)时，f′(x)＞0，即f(x)在x∈(0，＋∞)上单调递增，没有最小值；当a＜0时，由f′(x)＞0得，x＞－，所以f(x)在上单调递增；由f′(x)＜0得，x＜－，所以f(x)在上单调递减．所以当a＜0时，f(x)的最小值为f＝aln＋2.根据题意得f＝al

8、n＋2≥－a，即a[ln(－a)－ln2]≥0.因为a＜0，所以ln(－a)－ln2≤0，解得a≥－2，所以实数a的取值范围是[－2,0)．2．已知函