高中数学第二章推理与证明2.2直接证明与间接证明2.2.1第1课时综合法优化练习

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1、2.2.1第1课时综合法[课时作业][A组　基础巩固]1．对任意的锐角α、β，下列不等式关系中正确的是(　　)A．sin(α＋β)＞sinα＋sinβB．sin(α＋β)＞cosα＋cosβC．cos(α＋β)＞sinα＋sinβD．cos(α＋β)＜cosα＋cosβ解析：∵α、β为锐角，∴0＜α＜α＋β＜π，∴cosα＞cos(α＋β)，又cosβ＞0，∴cosα＋cosβ＞cos(α＋β)．答案：D2．在不等边三角形中，a为最长边，要想得到∠A为钝角的结论，三边a，b，c应满足条件(　　)A．a2＜b2＋c2　　　　　　　B．a2＝b2＋c2C．a2＞

2、b2＋c2D．a2≤b2＋c2解析：由余弦定理得：cosA＝＜0，故b2＋c2－a2＜0，∴a2＞b2＋c2.答案：C3．设a＝lg2＋lg5，b＝ex(x＜0)，则a与b大小关系为(　　)A．a＞bB．a＜bC．a＝bD．a≤b解析：a＝lg2＋lg5＝1，b＝ex，当x＜0时，0＜b＜1.∴a＞b.答案：A4．四面体ABCD中，棱AB、AC、AD两两垂直，则点A在底面BCD内的射影一定是△BCD的(　　)A．内心B．外心C．重心D．垂心解析：如图，设点O是点A在底面BCD内的射影，并连接AO，则AO⊥面BCD.连接BO并延长交CD于点E.由已知易得AB⊥

3、CD.又∵AO⊥面BCD，∴AO⊥CD.∴CD⊥面AOB，∴CD⊥BE.∴O在CD的高线上，同理O在BC，BD的高线上．答案：D5．不相等的三个正数a，b，c成等差数列，并且x是a，b的等比中项，y是b，c的等比中项，则x2，b2，y2三数(　　)A．成等比数列而非等差数列B．成等差数列而非等比数列C．既成等差数列又成等比数列D．既非等差数列又非等比数列解析：由已知条件，可得由②③得代入①，得＋＝2b，即x2＋y2＝2b2.故x2，b2，y2成等差数列．又由①得b2＝>ac＝·所以b4>x2·y2，故x2，b2，y2不成等比数列．答案：B6．设e1、e2是两

4、个不共线的向量，A＝2e1＋ke2，C＝e1＋3e2，若A、B、C三点共线，则k＝________.解析：∵A、B、C三点共线，∴存在λ使A＝λ，即2e1＋ke2＝λ(e1＋3e2)．∴λ＝2，k＝6.答案：67．已知sinα＋sinβ＋sinγ＝0，cosα＋cosβ＋cosγ＝0.则cos(α－β)＝________.解析：∵sinα＋sinβ＋sinγ＝0，cosα＋cosβ＋cosγ＝0，∴，两式平方相加得：2＋2(sinαsinβ＋cosαcosβ)＝1，∴cos(α－β)＝－.答案：－8．设a>0，b>0，则下面两式的大小关系为lg(1＋)___

5、_____[lg(1＋a)＋lg(1＋b)]．解析：∵(1＋)2－(1＋a)(1＋b)＝1＋2＋ab－1－a－b－ab＝2－(a＋b)＝－(－)2≤0，∴(1＋)2≤(1＋a)(1＋b)，∴lg(1＋)≤[lg(1＋a)＋lg(1＋b)]．答案：≤9．已知a，b＞0，且a＋b＝1，求证：＋≥4.证明：∵a，b＞0，且a＋b＝1.∴a＋b≥2，∴≤，∴＋＝＝≥4.当且仅当a＝b时，取“＝”号．10．已知，，成等差数列，求证，，也成等差数列．证明：因为，，成等差数列，所以＋＝.即＝，所以b(a＋c)＝2ac，所以＋＝＝＝＝＝＝＝，所以，，也成等差数列．[B组　能

6、力提升]1．p＝＋，q＝·(m、n、a、b、c、d均为正数)，则p、q的大小为(　　)A．p≥qB．p≤qC．p＞qD．不确定解析：q＝≥＝＋＝p.答案：B2．(2014·高考山东卷)已知a>b>0，椭圆C1的方程为＋＝1，双曲线C2的方程为－＝1，C1与C2的离心率之积为，则C2的渐近线方程为(　　)A．x±y＝0B.x±y＝0C．x±2y＝0D．2x±y＝0解析：椭圆C1的离心率为，双曲线C2的离心率为，所以·＝，所以a4－b4＝a4，即a4＝4b4，所以a＝b，所以双曲线C2的渐近线方程是y＝±x，即x±y＝0.答案：A3．如果不等式

7、x－a

8、＜1成立

9、的充分非必要条件是＜x＜，则实数a的取值范围是________．解析：

10、x－a

11、＜1⇔a－1＜x＜a＋1，由题意知(，)(a－1，a＋1)，则有，(且等号不同时成立)解得≤a≤.答案：≤a≤4.如图，在三棱锥VABC中，M、N分别是侧面VAC和侧面VBC的重心．求证：MN∥底面ABC.证明：如图，连接VM、VN并延长，分别交AC、BC于P、Q两点，连接PQ.由已知可知，M、N分别是侧面VAC和侧面VBC的重心．在△VPQ中，＝，＝，所以＝，所以MN∥PQ.因为MN⊄底面ABC，PQ⊂底面ABC，所以MN∥底面ABC.5．若实数x，y，m满足

12、x－m

13、<

14、y

15、－m

16、，则称x比y接近m.(1)若x2－1比3接近0