高中数学第二章推理与证明2.2直接证明与间接证明2.2.1第1课时综合法习题新人教版

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1、第二章推理与证明2.2直接证明与间接证明2.2.1综合法和分析法第1课时综合法A级　基础巩固一、选择题1．在下列函数f(x)中，满足“对任意x1，x2∈(0，＋∞)，当x1f(x2)”的是(　　)A．f(x)＝　　　　　B．f(x)＝(x－1)2C．f(x)＝exD．f(x)＝ln(x＋1)解析：由题设知，f(x)在(0，＋∞)上是减函数，由f(x)＝，得f′(x)＝－<0，所以f(x)＝在(0，＋∞)上是减函数．答案：A2．已知函数f(x)＝lg，若f(a)＝b，则f(－a)等于(　　)A．bB．－bC.D．－解析：f(x)定义域为(－1

2、，1)，f(－a)＝lg＝lg＝－lg＝－f(a)＝－b.答案：B3．命题“如果数列{an}的前n项和Sn＝2n2－3n，那么数列{an}一定是等差数列”是否成立(　　)A．不成立B．成立C．不能断定D．与n取值有关解析：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝4n－5又a1＝S1＝2×12－3×1＝－1适合上式．∴an＝4n－5(n∈N*)，则an－an－1＝4(常数)故数列{an}是等差数列．答案：B4．若a，b∈R，则下面四个式子中恒成立的是(　　)A．lg(1＋a2)>0B．a2＋b2≥2(a－b－1)C．a2＋3ab>2b2D.<解析：在B中，因为a2＋b2－2

3、(a－b－1)＝(a2－2a＋1)＋(b2＋2b＋1)＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0，所以a2＋b2≥2(a－b－1)恒成立．答案：B5．在△ABC中，已知sinAcosA＝sinBcosB，则该三角形是(　　)A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形解析：由sinAcosA＝sinBcosB得sin2A＝sin2B，所以2A＝2B或2A＝π－2B，即A＝B或A＋B＝.所以该三角形是等腰或直角三角形．答案：D二、填空题6．命题“函数f(x)＝x－xlnx在区间(0，1)上是增函数”的证明过程“对函数f(x)＝x－xlnx求导，得f′(x)

4、＝－lnx，当x∈(0，1)时，f′(x)＝－lnx>0，故函数f(x)在区间(0，1)上是增函数”，应用了________的证明方法．解析：本命题的证明，利用题设条件和导数与函数单调性的关系，经推理论证得到了结论，所以应用的是综合法的证明方法．答案：综合法7．角A，B为△ABC内角，A>B是sinA>sinB的________条件(填“充分”“必要”“充要”或“即不充分又不必要”)．解析：在△ABC中，A>B⇔a>b由正弦定理＝，从而sinA>sinB.因此A>B⇔a>b⇔sinA>sinB，为充要条件．答案：充要8．已知p＝a＋(a>2)，q＝2－a2＋4a－2

5、(a>2)，则p，q的大小关系为________．解析：因为p＝a＋＝(a－2)＋＋2≥2＋2＝4，又－a2＋4a－2＝2－(a－2)2<2(a>2)，所以q＝2－a2＋4a－2<4≤p.答案：p>q三、解答题9．已知a>0，b>0，且a＋b＝1，求证：＋≥4.证明：因为a>0，b>0且a＋b＝1，所以＋＝＋＝2＋＋≥2＋2＝4.当且仅当＝，即a＝b时，取等号，故＋≥4.10．设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，若函数y＝f(x＋1)与y＝f(x)的图象关于y轴对称，求证：函数y＝f为偶函数．证明：∵函数y＝f(x)与y＝f(x＋1)的图象关于y轴对称．∴f

6、(x＋1)＝f(－x)则y＝f(x)的图象关于x＝对称∴－＝，∴a＝－b.则f(x)＝ax2－ax＋c＝a＋c－∴f＝ax2＋c－为偶函数．B级　能力提升1．设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)单调递减，若x1＋x2>0，则f(x1)＋f(x2)的值(　　)A．恒为负值B．恒等于零C．恒为正值D．无法确定正负解析：由f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)单调递减，可知f(x)是R上的单调递减函数，由x1＋x2>0，可知x1>－x2，f(x1)

7、则tan＝________．解析：∵sinx＝，x∈，∴cosx＝－，∴tanx＝－，∴tan＝＝－3.答案：－33．(2016·江苏卷)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1.求证：(1)直线DE∥平面A1C1F；(2)平面B1DE⊥平面A1C1F.证明：(1)在直三棱柱ABCA1B1C1中，A1C1∥AC.在△ABC中，因为D，E分别为AB，BC的中点，所以DE∥AC，所以DE∥A1C1.因为DE⊄平面A1C1F，A1C1⊂平面A1C1F，所以直线DE∥平面A1C1F.