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时间:2019-10-25
《高中数学第二章推理与证明2.2直接证明与间接证明2.2.1第1课时综合法习题新人教版》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第二章推理与证明2.2直接证明与间接证明2.2.1综合法和分析法第1课时综合法A级 基础巩固一、选择题1.在下列函数f(x)中,满足“对任意x1,x2∈(0,+∞),当x1f(x2)”的是( )A.f(x)= B.f(x)=(x-1)2C.f(x)=exD.f(x)=ln(x+1)解析:由题设知,f(x)在(0,+∞)上是减函数,由f(x)=,得f′(x)=-<0,所以f(x)=在(0,+∞)上是减函数.答案:A2.已知函数f(x)=lg,若f(a)=b,则f(-a)等于( )A.bB.-bC.D.-解析:f(x)定义域为(-1
2、,1),f(-a)=lg=lg=-lg=-f(a)=-b.答案:B3.命题“如果数列{an}的前n项和Sn=2n2-3n,那么数列{an}一定是等差数列”是否成立( )A.不成立B.成立C.不能断定D.与n取值有关解析:当n≥2时,an=Sn-Sn-1=4n-5又a1=S1=2×12-3×1=-1适合上式.∴an=4n-5(n∈N*),则an-an-1=4(常数)故数列{an}是等差数列.答案:B4.若a,b∈R,则下面四个式子中恒成立的是( )A.lg(1+a2)>0B.a2+b2≥2(a-b-1)C.a2+3ab>2b2D.<解析:在B中,因为a2+b2-2
3、(a-b-1)=(a2-2a+1)+(b2+2b+1)=(a-1)2+(b+1)2≥0,所以a2+b2≥2(a-b-1)恒成立.答案:B5.在△ABC中,已知sinAcosA=sinBcosB,则该三角形是( )A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形解析:由sinAcosA=sinBcosB得sin2A=sin2B,所以2A=2B或2A=π-2B,即A=B或A+B=.所以该三角形是等腰或直角三角形.答案:D二、填空题6.命题“函数f(x)=x-xlnx在区间(0,1)上是增函数”的证明过程“对函数f(x)=x-xlnx求导,得f′(x)
4、=-lnx,当x∈(0,1)时,f′(x)=-lnx>0,故函数f(x)在区间(0,1)上是增函数”,应用了________的证明方法.解析:本命题的证明,利用题设条件和导数与函数单调性的关系,经推理论证得到了结论,所以应用的是综合法的证明方法.答案:综合法7.角A,B为△ABC内角,A>B是sinA>sinB的________条件(填“充分”“必要”“充要”或“即不充分又不必要”).解析:在△ABC中,A>B⇔a>b由正弦定理=,从而sinA>sinB.因此A>B⇔a>b⇔sinA>sinB,为充要条件.答案:充要8.已知p=a+(a>2),q=2-a2+4a-2
5、(a>2),则p,q的大小关系为________.解析:因为p=a+=(a-2)++2≥2+2=4,又-a2+4a-2=2-(a-2)2<2(a>2),所以q=2-a2+4a-2<4≤p.答案:p>q三、解答题9.已知a>0,b>0,且a+b=1,求证:+≥4.证明:因为a>0,b>0且a+b=1,所以+=+=2++≥2+2=4.当且仅当=,即a=b时,取等号,故+≥4.10.设函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0),若函数y=f(x+1)与y=f(x)的图象关于y轴对称,求证:函数y=f为偶函数.证明:∵函数y=f(x)与y=f(x+1)的图象关于y轴对称.∴f
6、(x+1)=f(-x)则y=f(x)的图象关于x=对称∴-=,∴a=-b.则f(x)=ax2-ax+c=a+c-∴f=ax2+c-为偶函数.B级 能力提升1.设f(x)是定义在R上的奇函数,且当x≥0时,f(x)单调递减,若x1+x2>0,则f(x1)+f(x2)的值( )A.恒为负值B.恒等于零C.恒为正值D.无法确定正负解析:由f(x)是定义在R上的奇函数,且当x≥0时,f(x)单调递减,可知f(x)是R上的单调递减函数,由x1+x2>0,可知x1>-x2,f(x1)7、则tan=________.解析:∵sinx=,x∈,∴cosx=-,∴tanx=-,∴tan==-3.答案:-33.(2016·江苏卷)如图,在直三棱柱ABCA1B1C1中,D,E分别为AB,BC的中点,点F在侧棱B1B上,且B1D⊥A1F,A1C1⊥A1B1.求证:(1)直线DE∥平面A1C1F;(2)平面B1DE⊥平面A1C1F.证明:(1)在直三棱柱ABCA1B1C1中,A1C1∥AC.在△ABC中,因为D,E分别为AB,BC的中点,所以DE∥AC,所以DE∥A1C1.因为DE⊄平面A1C1F,A1C1⊂平面A1C1F,所以直线DE∥平面A1C1F.
7、则tan=________.解析:∵sinx=,x∈,∴cosx=-,∴tanx=-,∴tan==-3.答案:-33.(2016·江苏卷)如图,在直三棱柱ABCA1B1C1中,D,E分别为AB,BC的中点,点F在侧棱B1B上,且B1D⊥A1F,A1C1⊥A1B1.求证:(1)直线DE∥平面A1C1F;(2)平面B1DE⊥平面A1C1F.证明:(1)在直三棱柱ABCA1B1C1中,A1C1∥AC.在△ABC中,因为D,E分别为AB,BC的中点,所以DE∥AC,所以DE∥A1C1.因为DE⊄平面A1C1F,A1C1⊂平面A1C1F,所以直线DE∥平面A1C1F.
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