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1、高考数学二轮复习直线与圆的位置关系考点透析【考点聚焦】考点1:直线的倾角与斜率的概念;考点2:直线平行与垂直的条件;考点3:直线与圆的位置关系(特征三角形)。.【考点小测】1.(湖南卷)若圆上至少有三个不同点到直线:的距离为,则直线的倾斜角的取值范围是()A.[]B.[]C.[D.解析:圆整理为,∴圆心坐标为(2,2),半径为3,要求圆上至少有三个不同的点到直线的距离为,则圆心到直线的距离应小于等于,∴,∴,∴,,∴,直线的倾斜角的取值范围是,选B.2.(江苏卷)圆的切线方程中有一个是(A)x-y=0 (B)x+y=0 (C)x=0 (D)y=0【正确解答】直线ax
2、+by=0,则,由排除法,选C,本题也可数形结合,画出他们的图象自然会选C,用图象法解最省事。【解后反思】直线与圆相切可以有两种方式转化(1)几何条件:圆心到直线的距离等于半径(2)代数条件:直线与圆的方程组成方程组有唯一解,从而转化成判别式等于零来解.3.(全国卷I)从圆外一点向这个圆作两条切线,则两切线夹角的余弦值为A.B.C.D.解析:圆的圆心为M(1,1),半径为1,从外一点向这个圆作两条切线,则点P到圆心M的距离等于,每条切线与PM的夹角的正切值等于,所以两切线夹角的正切值为,该角的余弦值等于,选B.5.(重庆卷)过坐标原点且与x2+y2+4x+2y+=0相切的直线的
3、方程为(A)y=-3x或y=x(B)y=-3x或y=-x(C)y=3x或y=-x(B)y=3x或y=x解析:过坐标原点的直线为,与圆相切,则圆心(2,-1)到直线方程的距离等于半径,则,解得,∴切线方程为,选A.6.(辽宁卷)若直线按向量平移后与圆相切,则c的值为(A)A.8或-2B.6或-4C.4或-6D.2或-87(北京卷)从原点向圆x2+y2-12y+27=0作两条切线,则该圆夹在两条切线间的劣弧长为(B)(A)π(B)2π(C)4π(D)6π8(湖南卷)设直线和圆相交于点A、B,则弦AB的垂直平分线方程是.9.如果实数满足,求的最大值、2x-y的最小值解:(1)问题可转
4、化为求圆上一点到原点连线的斜率的最大值,由图形性质可知,由原点向圆作切线,其中切线斜率的最大值即为的最大值设过原点的直线为y=kx,即kx-y=0,由,解得或(2)x,y满足,【典型考例】【问题1】直线的方程与平行、垂直条件P91例1例2.若直线mx+y+2=0与线段AB有交点,其中A(-2,3),B(3,2),求实数m的取值范围。例3.自点A(-3,3)发出的光线射到x轴上,被x轴反射,其反射光线所在的直线与圆相切,求光线所在的直线方程解:由已知可得圆C:关于x轴对称的圆C‘的方程为,其圆心C‘(2,-2),则与圆C’相切,设:y-3=k(x+3),,整理得12k2+25k+
5、12=0,解得或,所以所求直线方程为y-3=(x+3)或y-3=(x+3),即3x+4y-3=0或4x+3y+3=0【问题2】圆的方程例4.P92例2例5.(07年湖南文理科试题)如图,过抛物线x2=4y的对称轴上任一点P(0,m)(m>0)作直线与抛物线交于A,B两点,点Q是点P关于原点的对称点。(I)设点P分有向线段所成的比为,证明:(II)设直线AB的方程是x-2y+12=0,过A,B两点的圆C与抛物线在点A处有共同的切线,求圆C的方程.解:(Ⅰ)依题意,可设直线AB的方程为代入抛物线方程得①设A、B两点的坐标分别是、、x2是方程①的两根.所以由点P(0,m)分有向线段所
6、成的比为,得又点Q是点P关于原点的对称点,故点Q的坐标是(0,-m),从而.所以(Ⅱ)由得点A、B的坐标分别是(6,9)、(-4,4).由得所以抛物线在点A处切线的斜率为设圆C的方程是则解之得所以圆C的方程是即例6.一个圆和已知圆外切,并与直线:相切于点M(),求该圆的方程已知圆方程化为:,其圆心P(1,0),半径为1设所求圆的圆心为C(a,b),则半径为,因为两圆外切,,从而1+(1)又所求圆与直线:相切于M(),直线,于是,即(2)将(2)代入(1)化简,得a2-4a=0,a=0或a=4当a=0时,,所求圆方程为当a=4时,b=0,所求圆方程为【问题3】直线与圆的位置关系例
7、7.P96T8例8.P96T9【问题3】综合与提高例9:例3.2.(广东卷)在平面直角坐标系中,已知矩形ABCD的长为2,宽为1,AB、AD边分别在x轴、y轴的正半轴上,A点与坐标原点重合(如图5所示).将矩形折叠,使A点落在线段DC上.(Ⅰ)若折痕所在直线的斜率为k,试写出折痕所在直线的方程;(Ⅱ)求折痕的长的最大值.例10.23.如图,过圆O:x2+y2=4与y轴正半轴交点A作此圆的切线l,M为l上任一点,过M作圆O的另一条切线,切点为Q,求△MAQ垂心P的轨迹方程。【课后训练】1.(安