复矢量法在平面运动中的应用

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1、复矢量法在平面运动中的应用摘要本文主要用复矢量法,证明了牵连运动为平面运动时,点的加速度合成定理,给出了求解平面机构运动不同与教材的方法.关键词复矢量法,牵连运动，平面运动,科氏加速度牵连运动为平面运动时点的加速度合成公式,是求解平面机构复杂运动的一个重要定理.其形式如下：dd!ddddddrddrddda=ar+ε×+×ω+=a+a+aoercdtdtdt对于这个公式，我们的教科书上没有给出详细的证明，只是简单的进行了一些分析。老师在讲授课程的时候又进一步用定轴运动的模型给出了科氏加速度的物理意义。而仅引用牵连运动为定轴

2、转动时点的加速度合成定理证明的结论,这样似乎不太完整.另外,解析法和几何法来研究平面中的复杂运动,不仅过程繁杂,而且仅能求解特定位置时的运动瞬时值.我在看一些参考书的时候，遇到了复矢量法这样一种解决平面运动问题的方法，它既能对牵连运动为平面运动时点的加速度合成定理予以理论上的严格证明,同时又可方便地求解平面机构复杂运动的整个过程.证明加速度合成公式：如图１，设动点M(x,y,z)在动坐标系o′x′y′z′中沿曲线L运动,而动系的动坐标面o′x′y′相对静坐标系oxyz的静坐标面xoy作平面运动,且动系原点o′相对于静系的坐

3、标为(xo′,yo′,a),(a为常数)图11iθiθ由欧拉公式：cosei=+θsinθ,exp(iθ)=e1cosθ=+[exp()exp(iuθθ−)]2（1）1sinθ=−[exp()exp(iuθθ−)]2θ为o′x′轴与ox轴间的夹角.将(1)式代入坐标变换公式(2)(2)得用复坐标表示的变换公式(3)其中u=i,下文中的u均为i。同样,对基本单位矢量用复坐标表示(4)由加速度定义,对复坐标变换式(3)中的各式分别连求二阶导数,则得动点M的绝对加速度在各对应坐标轴上的投影,即2由绝对加速度定义将上述表达式代入上

4、式并利用(4)式的结果整理得M点的绝对加速度(5)设M′点为动坐标系上与动点M相重合的点,由M点牵连加速度定义得3(6)由M点的相对加速度定义(7)又由科氏加速度定义(8)将(6)～(8)式代入(5)式,则得d!dddddddrddrddda=ar+ε×+×ω+=a+a+a(9)oercdtdtdt至此定理证毕.应用：例具有控制摇杆O1B的曲柄滑块机构,曲柄OA按规律θ1=θ1(t)绕定轴O转动.已知:OA=a、O1B=b、OO1=C、ωO1B=、εO1B=.求:1)BC杆的角速度ωBC与角加速度εBC及滑块A相对于BC杆

5、的速度vr与加速度ar;2)当OA杆转置铅垂位置时,控制摇杆O1B与水平线OO1夹角为,求此瞬时BC杆的ωBC、εBC及滑块A相对BC杆的vr、ar.(设a=cm,b=4cm,c=5cm,2对应此瞬时=4rad/s,=4rad/s2,=2rad/s,=2rad/s.)解（１）取图示坐标,由图2可知封闭矢量约束方程［3］为4AB=AO+OO1+O1B图2曲柄滑块机构即(11)(11)式两边同对时间t求导得（12）上式两边同乘exp(-uθ3),再次欧拉公式展开并比较两边的实部与虚部系数得(13)(14)与求速度方法类似,式(

6、12)两边对时间t求导后两边同乘exp(-uθ),再用欧拉公式展开并比较实、虚部系数得(15)(16)5（２）当OA杆转置铅垂位置瞬时,有,将其及已知条件分别代入式(13)～式(16)得负号表示vr方向与r3(AB)的方向相反.负号表示为顺转向.ar与AB同向.与θ３一致逆转向.复矢量法在力学中甚至许多其他科学中都有重要的应用，我认为它其实是把物理问题换用数学手段来解决的一种方法。因此能减少力学分析，但数学计算也相应的较多。我们在实际分析问题时可以根据实际情况采用不同的方法解决问题。参考文献1.李俊峰，张雄，任革学，高云峰

7、编。《理论力学》2琚贻宏.《复矢量法在平面机构运动学中的应用》０００６７１刘川6