复频域分析法在电路分析中的应用

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1、复频域分析法在电路跃变中的应用摘要：复频域分析法是一种基于拉普拉斯变换的电路分析方法，其实质是将电路分析中的高阶微分方程用拉普拉斯变换法求解。人们从电路元件和电路定理本身的时频关系出发，画出运算电路，从而大大简化了许多电路问题的求解。本文将针对电路中的跃变现象，使用复频域分析法进行分析，往往能收到很好的效果。关键词：复频域跃变电路时频关系电感割集电容冋路理论分析：图1电感割集产生的越变在动态电路中，往往存在换路现彖(比如打开、闭合开关等)，当电容电流，电感电压为有限值时，换路过程应当满足换路定律，即换路前后，电容电压和电感电流不发生改变：况c(0+)=Mc(O-)Zl(O+)=Z

2、l(O-)但是，在有些情况下，不能保证电容电流或者电感电压为有限值，这样一来电容电压或者电感电流就会发生跃变，换路定律不再成立。这时传统的时域分析方法往往要对电路分析屮的微分方程进行积分，才能得到电容电压或者电感电流的初始值。电路跃变往往含有电感割集(其屮可能含有一些独立电流源)或者电容冋路(其屮可能含有一些独立电压源)，我们针对前一种情况，即电感割集进行分析，电容回路的分析是完全对偶的。如图1所示，若该割集由M个电感和N个独立电流源组成(图中分别只画出了2个以示意)，假设换路动作为闭合所有电流源支路上的开关，换路发生在/=0时刻，则在时有：〉［iLrn=Om=再根据一些条件可

3、以确定出各个电感电流的'厶加（0-）的数值。当（＞0时，各电流源接入，则有：=o严7VLLm-Htsn777=1AZ=I根据电路的拓扑结构及元件参数可以列岀一些特性方程（或者状态方程）Aul+Bil+Cis=0(1)其中UL为电感电压列向量，IL为电感电流列向量，Is为独立电流源列向量，A,B,C为系数矩阵，由电路的拓扑结构和元件参数决定。将该矩阵方程的某一行写出来即为：MMNmULm+iLm+Cnisn—0m~m=ln=l将电感的电压电流特性方程ULm=Sdiundt（假设电感的电压电流为一致参考方向）代入上式屮去:M帀MN(2)工amLm——-+工bmiLm+丫Cnisn=

4、0m=dtm-/i=l两边从0-到0+进行积分则有：diLmdtMN力+D瞪iLmdt+C/?Joisndt—0m=ln=一般来说，跃变时有限值，故上式第二项为0,上式第三项由于电流源必为有限值，故为所以有：M(3)〉：ClmLm(iLm(0-f-)—2•厶加(0_))=0m=l由矩阵方程（1）式出发列出形如（3）式的一组方程从而确定电感电流的初始值，这就是传统时域分析所采用的方法。而对于复频域分析法而言，我们实质上所做的事情就是在（2）式两端施加了拉普拉斯变换，dx由于竺》X($)—x(0_)dtMMN]工皿S(s/s(s)-认(OJ)+工九Ms)+工二=0m=lm=ln

5、='显然代数方程(4)要比微分方程(2)好处理的多。将类似于(4)式的一族代数方程列成矩阵的形式，即对(1)直接进行拉普拉斯变换可得:AL(sIl(s)-zl(O-))+BIl(s)+-Cis二0其中l为电感对角矩阵厶=diag(Li,Li……Lm)移项得：(ALs+B)Il(s)=ALzY(O-)--Ciss所以有：7a(s)=(ALs+B)1(AZza(O-)--Cis)⑸由此可见，脏)的形式必定为一种分式形式。之后再对其求拉普拉斯反变换即可：iL(t)=」一fCT+7I认s)e"ds2%j"-jg然而，在面对实际问题时我们并不需要上述的推导就可以直接得到方程(4),只要我

6、们根据各电路元件的时频特性画出相应的运算电路就可以，按照KCL和KVL直接列出(4)式,而且在某些很特殊的情况下，比如独立电流源为冲击函数等，这吋电感电流不仅发生了跃变,而且跃变值为无穷，这时从0•到0+积分不能消除电感电流项和电流源项，也就不能在时域上得到(3)式，但在频率域上(5)式仍然成立，所以复频域分析法仍然奏效，可见其普适性。例子:如图2所示。己知R=100Q,L1=0.4H,L2=0.6H,L=10g(T)A。求f>0时的响应■十图3解：画出换路后的运算电路图3,注意到zi(0-)=10Az2(0_)=0A,根据电感频域的特性方程：Ul(s)=LsIl(s)-Lzl(

7、O-)即可画出运算电路图3.这样我们根据KVL可以得到：—、441一0.4$+0・6s+10「一$+10进行拉普拉斯反变换可得:呛)=4严加＞0)这样一•来，我们事实上已经求出换路后的初始值：Z1(O+)=4A而免去了列些微分方程再进行积分处理的麻烦，可见复频域分析法在处理此类跃变电路问题时的威力。对于电容冋路(包含独立电压源)的分析只要注意到电容的复频域特性方程为:口/、1rrxUc(O-)=—-Ic(S)+sCs就可以对偶地分析岀跃变时的复频域特征。结论：在动态电路屮几乎都存