[教育教学类精品] 平面内矢量的复矢量计算法

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1、平面内矢量的复矢量计算法平面内矢量的复矢量计算法[摘要]本文提出了解决平面内矢量计算问题的一种方法——复矢量计算法。这种方法是把矢量式表示成复矢量式，利用复数计算法，把某矢量的复矢量计算出来，再根据矢量与复矢量的对应关系得出矢量的大小和方向。[关键词]平面内矢量；复矢量计算法物理学中，有关矢量的计算问题一般是采用正交分解与合成的方法，先计算矢量的大小，最后再确定所求矢量的方向。我们都知道，复数有实部和虚部，用它可以表示二维空间的矢量。如果把复数的计算方法引入平面内矢量的计算，可把矢量的大小和方向同时算出，将给计算带来极大的方便。一、复矢量的概念（a）　　　　　　　　　　（b）　　　

2、图Ⅰyθoxyθox矢量是既有大小又有方向的量，为了把矢量的两个特性同时表示出来，引入复矢量概念。某矢量A在直角坐标系中的表示如图Ⅰ(a)所示。现在把矢量A表示成复数形式，这个复数叫复矢量，记为。这是复矢量的极坐标形式，它在复平面内的直角坐标系中的表示如图Ⅰ（b）所示，x轴为实轴，y为虚轴。A是复矢量的模，表示矢量A的大小；是复矢量的幅角，表示矢量A的方向。规定从实轴的正方向逆时针转动的幅角为正，从实轴正方向顺时针转动的幅角为负。幅角取值范围是：-180°≤θ≤180°。一个已知矢量，它的复矢量是唯一确定的。矢量和它的复矢量一一对应，只是表示形式和运算方法不同。复矢量的运算与复数的

3、运算方法相同。二、矢量表示成复矢量的方法1．复矢量的名称把某矢量的前加一个“复”字即可。如复力、复加速度。2．矢量的复矢量表示法如力F的大小为3N，方向是东偏北30°。把它表示成复力时，建立如图Ⅱ5平面内矢量的复矢量计算法(a)的直角坐标系，x、y轴的正方向分别指向东和北，力的方向即可表示出来，把F的大小和方向写成复数的极坐标形式就是复力N。符号上的“．”表示它与矢量的区别，因为是复矢量。y30°ox（a）yoxg(b)图Ⅱ又如把重力加速度g表示成复重力加速度时，选坐标系如图Ⅱ（b）所示，则。复矢量与坐标系方位的选取有关。通常选平面内水平向右为x轴的正方向，竖直向上为y轴的正方向。

4、3．物理矢量公式的复矢量表示法例如牛顿第二定律F=ma表示成复矢量公式形式为，即把矢量公式中所有的矢量表示成复矢量，其公式形式不变。又如动量守恒定律的矢量公式复矢量公式形式为。下面以两个力的合成为例证明用矢量合成法与用复矢量计算法所得的结果一致。（1）如图Ⅲ所示，直角坐标系中夹角为θ的两个力F1和F2。合力为F=F1+F2正交分解Fx=F1+F2cosθFy=F2sinθyF2Fθ　　φoF1x图Ⅲ合力大小F=合力与F1（x轴正方向）的夹角为（2）用复力求合力F的大小和方向F的大小F的方向5平面内矢量的复矢量计算法（a）　　　　　　　　（b）图Ⅳ90°A120°60°yo90°x1

5、20°60°上面以力的合成为例证明了用复矢量计算方法所得结果与矢量合成方法所得结果是一致的。像F=F1+F2的矢量式是不能直接计算的，若把它表示成复矢量式就可以直接计算出合矢量F的大小和方向若把二维空间内的物理矢量公式表示成复矢量后再计算，会减少中间过程，使运算简便迅速。下面通过几个实例说明这种方法的应用例1如图Ⅳ(a)所示，一固定点A受四个力作用。已知F1=300N，F2=200N，F3=150N，F4=60N，这四个力在同一平面内，方向如图。求合力F。解：以F2的方向为x轴，y轴向上，A点为原点建立直角坐标系如图Ⅳ（b）所示，则合力的大小F=272N，合力与x轴正方向夹角为。上

6、述复数运算可以用函数计算器进行。例2在悬崖边以初速度10m/s，仰角37°向上抛出一石块，如图Ⅴ所示。求抛出2s时石块的速度和位移（不计空气阻力）。解Ⅰ：∵由于为负值，可知石块已运动到抛出点的水平线以下。5平面内矢量的复矢量计算法yv0αsxoβxsysvxvyv图Ⅴ∴即2s石块速度为15.76m/s，方向为水平偏下59.5°。∵∴即2s时石块位移大小为17.67m，方向为水平偏下25.3°。解Ⅱ：复矢量计算法。根据运动叠加原理可得速度位移复速度复位移两种解法结果完全相同。可见用复矢量法计算不需要像解Ⅰ那样的矢量分解、合成，再确定矢量方向的中间运算过程，而是利用复数计算直接得出矢量

7、的大小和方向。v111θ1θ22v2(a)　　　　　　　　　yv1θ1u1oθ2xv2(b)图Ⅵ例3设小球1的质量m1=1kg，碰撞前速度为=4m/s，小球2的质量m2=3kg，碰撞前静止。两球碰撞后小球1的速度=2m/s，其方向与原来运动方向成θ1=50°。求小球2碰撞后的速度。解：建立如图Ⅵ5平面内矢量的复矢量计算法的直角坐标系。设碰撞后小球2的速度方向与x轴正方向夹角为。根据动量守恒定律，有若把上式分解，写出该式沿x方向和y方向上的投影需要解方程组，比较麻烦。而