3.2复数的四则运算

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1、我们引入这样一个数i，把i叫做虚数单位，并且规定：i21；形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数.全体复数所形成的集合叫做复数集，一般用字母C表示.复习：8/31/2021实部复数的代数形式：通常用字母z表示，即虚部其中称为虚数单位。复数集C和实数集R之间有什么关系？讨论？复数a+bi8/31/2021如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等．特别地，a+bi=0.a=b=08/31/2021注意:一般地,两个复数只能说相等或不相等,而不能比较大小.思考:对于任意的两个复数到底能否比较大

2、小?答案:当且仅当两个复数都是实数时,才能比较大小.8/31/2021我们知道,i与实数一起可以按照实数的运算法则进行四则运算.那么,任意两个复数按照怎样的法则进行四则运算呢?问题:8/31/2021复数的四则运算8/31/2021一.复数加减法的运算法则：1.运算法则:设复数z1=a+bi,z2=c+di,那么：z1+z2=(a+c)+(b+d)i;z1-z2=(a-c)+(b-d)i.即:两个复数相加(减)就是实部与实部,虚部与虚部分别相加(减).8/31/2021证：设Z1=a1+b1i，Z2=a2+b2i

3、，Z3=a3+b3i(a1，a2，a3，b1，b2，b3∈R)则Z1+Z2=（a1+a2)+(b1+b2)i，Z2+Z1=（a2+a1)+(b2+b1)i显然Z1+Z2=Z2+Z1同理可得(Z1+Z2)+Z3=Z1+(Z2+Z3)点评：实数加法运算的交换律、结合律在复数集C中依然成立。2.运算律探究?复数的加法满足交换律，结合律吗？Z1+Z2=Z2+Z1(Z1+Z2)+Z3=Z1+(Z2+Z3)复数的加法满足交换律、结合律，即对任意Z1∈C，Z2∈C，Z3∈C8/31/2021例1.计算解:(5-6i)+(-2-

4、i)-(3+4i)=(5-2-3)+(-6-1-4)i=-11i8/31/2021练习：计算(1)(２＋３i)+(-3+7i)=(2)-4+(-2+6i)-(-1-0.9i)=(3)已知Z1=a+bi,Z2=c+di，若Z1+Z2是纯虚数，则有（　　）A.a-c=0且b-d≠0B.a-c=0且b+d≠0C.a+c=0且b-d≠0D.a+c=0且b+d≠08/31/2021例2：设z1=x+2i,z2=3-yi(x,y∈R),且z1+z2=5-6i,求z1-z2解：∵z1=x+2i，z2=3-yi，z1+z2=5-

5、6i∴(3+x)+(2-y)i=5-6i∴z1-z2=(2+2i)-(3-8i)=-1+10i3+x=5,2-y=-6.∴x=2y=8∴8/31/2021课堂练习1、计算：（1）(－3－4i)+(2+i)－(1－5i)=___________（2）(3－2i)－(2+i)－(________)=1+6i2、已知x∈R，y为纯虚数，且（2x－1)+i=y－(3－y)i则x=_______y=_______－2+2i－9i－4i分析：依题意设y=ai（a∈R），则原式变为：（2x－1)+i=(a－3)i+ai2=－a

6、+(a－3)i－由复数相等得2x－1=－aa－3=1x=y=4i8/31/2021二.复数乘法运算：1.我们规定，复数乘法法则如下：设z1=a+biz2=c+di是任意两个复数，那么它们的乘积为：(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bdi2=ac+adi+bci-bd=(ac-bd)+(ad+bc)i注意：两个复数的积是一个确定的复数8/31/2021探究：复数的乘法是否满足交换律，结合律以及乘法对加法的分配律？对任意复数z1=a+bi,z2=c+di,z3=m+ni则z1·z2=(a+bi)(c+d

7、i)=ac+adi+bci+bdi2=ac+adi+bci-bd=(ac-bd)+(ad+bc)i而z2·z1=(c+di)(a+bi)=ac+bci+adi+bdi2=(ac-bd)+(ad+bc)i∴z1·z2=z2·z1(交换律)8/31/20212.乘法运算律对任意z1,z2,z3∈C.有z1·z2=z2·z1(交换律)(z1·z2)·z3=z1·(z2·z3)(结合律)z1(z2+z3)=z1·z2+z1·z3(分配律)8/31/2021应用举例计算(1)(3+4i)(-2-3i)解：原式=-6-9i-

8、8i-12i2=-6-17i+12=6-17i分析：类似两个多项式相乘，把i2换成-18/31/20218/31/2021例题讲解例3.计算⑵(3+4i)(3-4i)⑴(1+i)2⑵原式=9-12i+12i-16i2=9-(-16)=25解：⑴原式=(1+i)(1+i)=1+2i+i2=1+2i-1=2i注：可用实数系中乘法相应公式进行运算分析：可利用复数的乘法法则计算(