从构造数列递推计算到牛顿等幂和公式

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1、维普资讯http://www.cqvip.com6中等数学从构造数列递推计算到牛顿等幂和公式王慧兴(河南省实验中学，45ooo2)(本讲适合高中)较多，计算起来通常较繁．需要指出的是，上述递推关系式对k∈Z都成立．1构造数列递推计算2牛顿等幂和公式如何用17,个未定元，，⋯，的基本对称多项式用n个未定元，，⋯，‰的基本对称(l，2，⋯，，⋯，)多项式①表示等幂和多项式=∑的另=(∑∑嘶，⋯，一种方法就是著名的牛顿公式．i11≤￡《』≤∑Xi]⋯⋯)①牛顿公式：令S=～∑(

2、I}∈N+)．则1‘1‘2‘⋯‘i=1当k≤n时，表示等幂和多项式S=∑x

3、~(kEN+)?S：lS一l一2S一2+⋯+约定S。=n．(一1)—ll+k(一1)；根据，2，⋯，‰是方程当k>n时，(t一)(t一2)⋯(t一)=0，Sk：lS一l一2S一2+⋯+即t一I一+⋯+(一1)Yajt一j+⋯+(一1)”a．SI一．、(一1)一一ft+(一1)=0牛顿公式的证明见文[1]，前一部分要用的n个根，得到一点导数和多项式知识，后一部分就是前?=lni一+⋯+(一1)ni一+⋯+述数列方法．(一1)n{7一l￡+(一1)．3例题选讲故=l’+⋯+(一lY一+⋯+牛顿等幂和公式从算法的角度给出关于(一1)—lk一‘一D+(一

4、1)一．等幂和问题的_个推证途径．关于等幂和的对i=1,2，⋯，n累加得问题在代数式求值、多项式、不等式、解方程=l一l+⋯+(一1一+⋯+组、多元极值、初等数论、三角函数以及复数(一1)一lS一++(一1)S一等专题中都有出现，已成为近年来各级数学(k≥n)．竞赛的一个亮点．再根据初始条件例1已知口瞄+啷可以表示成以(S0，Sl，S2，⋯，S一1)n+、为变元的二元多项式．求这个多项=(n，l，一2a2，⋯)，式的系数之和．(2005，中国西部数学奥林匹克)就可以进行递推计算．当n不太大时，初始条件较少，用代数讲解：令S=口+卢(n∈N+)，方

5、法能方便地算出；当n较大时，初始条件(l，2)=(口+卢，)．移则SI=l，收稿日期：2008—04一II修回日期：2008—06—06维普资讯http://www.cqvip.com2008年第8期7S2=1S1+2(一1)2=一2o"z，⋯⋯又由排序不等式知由牛顿公式可得0+b+c一一bc—c口≥0．故原不等式得证．a嘶+嘶=∑c，，评注：结合待证不等式及其条件，应用牛其中，c为常数．顿公式递推计算是一个水到渠成的选择，思故∑c=(a嘶+嘶)I。：：路自然，表达简洁．例3解方程组蛐e,15i)2005e(1+i)f—Y+一2，=1．l一v+Z

6、,2一W=6，因此，所求多项式系数和为1．I一v+Z,3一W=20，评注：这里应用牛顿公式推证，思路清【4一v4+4一4=66[2。．晰，自然流畅，回答了原来参考答案“赋值法”(2006，全国高中数学联赛)中的“为什么”．讲解：定义数列例2设正实数0、b、c满足0+b+c={0}：0=+z(n∈N+)，1．证明：{b}：b=+W(nEN+)．10(0+b+c)一9(0+b+c)≥1．于是，原方程组即(2005，中国西部数学奥林匹克)fO；1=bl+2，讲解：令S=0+b+c(EN+)．则102=b2+6，(l，2，3)=(1，ab+6c+c口，a

7、bc)，103=b3+20，S0=3，S1=1．再由牛顿公式计算得S2m-盯1Sl+2(一1)2=1—20"2，S3=1S2一2S1+3(一1)3(，：)=(+z，杞)=(。。，主)．=1—32+33，S4=lS3一2S2+3Sl=1—42+43+2，S5lS4一2S3+3S2：。(3。：一。)，=1—52+53+5一5a23．于是，原不等式等价于1O(1—3a2+33)一9(1—5a2+53+=。(3。：一。)一。：(。2一。：)5盯一5a23)≥1：(2。2。：一。+。)．幸2一3—3a+3a23i>0幸(盯2一3)(1—3a2)i>0幸(a

8、b+bc+c口一abc)(02+b2+c2一6，：6(36：一6)，如一bc—c口)I>0．6：(266：一l,4+6)．由0+b+c=1且0、b、cER．知0+2+m—abc>0．维普资讯http://www.cqvip.com8中等数学aI：b1+2，6(x+Y+)2≤(2+Y2+Z2)3，。2=b2+6，即54xY≤(+)，2+)。．1。。(3。：一。)=16注意到。(3b：一6)+20，54．~2，，2=216··(2。口2-口4l十。)=(26一6j+6)+66口1=b1+2，6口2=b2+6，()3=8(，b—b1一b2+2=0，=(

9、一2xy+2)=(+)，2+)．2b+3b一2b1b2—4b1—5b2+16=0因此，原不等式成立．当xy+2z=0，xy<0时，等号成