数列递推公式.docx

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1、求递推数列通项公式的常用方法一、引言在高中数学课程内容中，数列作为离散函数的典型代表之一，不仅在高中数学中具有重要位置，而且，在现实生活中有着非常广泛的作用，同时，数列的教学也是培养观察、分析、归纳、猜想、逻辑推理以及运用数学知识提出问题、分析问题和解决问题的必不可少的重要途径。数列这一章蕴含着多种数学思想及方法，如函数思想、方程思想，而且在基本概念、公式的教学本身也包含着丰富的数学方法，掌握这些思想方法不仅可以增进对数列概念、公式的理解，而且运用数学思想方法解决问题的过程，往往能诱发知识的迁移，使学生产生举一反三、融会贯通的解决多数列问题。在这

2、一章主要用到了以下几中数学方法：1、不完全归纳法不完全归纳法不但可以培养学生的数学直观，而且可以帮助学生有效的解决问题，在等差数列以及等比数列通项公式推导的过程就用到了不完全归纳法。2、倒叙相加法等差数列前n项和公式的推导过程中，就根据等差数列的特点，很好的应用了倒叙相加法，而且在这一章的很多问题都直接或间接地用到了这种方法。3、错位相减法错位相减法是另一类数列求和的方法，它主要应用于求和的项之间通过一定的变形可以相互转化，并且是多个数求和的问题。等比数列的前n项和公式的推导就用到了这种思想方法。4、函数的思想方法数列本身就是一个特殊的函数，而且

3、是离散的函数，因此在解题过程中，尤其在遇到等差数列与等比数列这两类特殊的数列时，可以将它们看成一个函数，进而运用函数的性质和特点来解决问题。5、方程的思想方法数列这一章涉及了多个关于首项、末项、项数、公差、公比、第n项和前n项和这些量的数学公式，而公式本身就是一个等式，因此，在求这些数学量的过程中，可将它们看成相应的已知量和未知数，通过公式建立关于求未知量的方程，可以使解题变得清晰、明了，而且简化了解题过程。1二、等差数列通项公式和前n项和公式第一：等差数列前n和的推程1、等差数列通公式：(1)可以从等差数列特点及定来引入。定：n≥2，有an－a

4、(n－1)=d，：a2=a1＋da3=a2＋d=a1＋2da4=a3＋d=a1＋3da5=a4＋d=a1＋4d⋯⋯猜并写出an=？（2）采取累加a2－a1=da3－a2=da4－a3=d⋯⋯an－a(n－1)=d累加后，有：an－a1=(n－1)d，即：an=a1＋(n－1)d。2、等差数列前n和：方法一：高斯算法（即首尾相加法）1+2+3+⋯+50+51+⋯+98+99+100=？1+100=101，2+99=101，⋯,50+51=101，所以原式=50（1+101）=50502则利用高斯算法，容易进行类比，过程如下：a1a2a3......

5、an2an1an?其中a1ana2an1a3an2......这里用到了等差数列的性质：若mnpq,则amanapaq问题是一共有多少个a1an，学生自然想到对n取奇偶进行讨论。（1）当n为偶数时：Sna1anan1an22Snnan)(a12（2）当n为奇数时：Sna1an11an1an11an222分析到这里发现an1“落单”了，似乎遇到了阻碍，此时鼓励学生不能放弃，在2老师的适当引导下，不难发现，an1的角标与(a1an)角标的关系2Snn1(a1an)an122n1an1an1an)22(a122n(a1an)23从而得到，无论n取奇数还

6、是偶数，Snn(a1an)2总结：（1）类比高斯算法将首尾分组进行“配对”，发现需要对n取奇偶进行讨论，思路自然，容易掌握。（2）不少资料对n取奇数时的处理办法是，当讨论进行不下去时转向寻求其它解决办法，进而引出倒序相加求和法。方法二：对n的奇偶进行讨论有点麻烦，能否回避对n的讨论呢？接下来给出实际问题：伐木工人是如何快速计算堆放在木场的木头根数呢？由此引入倒序相加求和法。Sna1a2an1anSnanan1a2a1两式相加得：2Snn(a1an)Sn(aa)n21n总结：（1）数学学习需要最优化的学习，因此引导学生去寻求更有效的解决办法，让学生

7、在解决问题的同时也体会到同一个问题有不同的解决办法，而我们需要的是具备高效率的方法。（2）倒序相加求和法是重要的数学思想，方法比公式本身更为重要，为以后数列求和的学习做好了铺垫。（3）在过程中体会数学的对称美。三、一般的递推数列通项公式的常用方法一、公式法例1、已知无穷数列an的前n项和为Sn，并且anSn1(nN*)，求an的通项公式？【解析】：QSn1an，an1Sn1Snanan1，an11an，又a11，22nan1.2反思：利用相关数列an与Sn的关系：a1S1,anSnSn1(n2)与提设条件，建立递推关系，是本题求解的关键.4二、归

8、纳猜想法：由数列前几项用不完全归纳猜测出数列的通项公式，再利用数学归纳法证明其正确性，这种方法叫归纳法.例2、已知数列an中，a11，a