《向量数量积的物理背景与定义》课件1

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1、向量数量积的物理背景与定义学习目标1、掌握平面向量数量积的物理背景；3、掌握平面向量数量积的定义性质及几何意义。2、理解一个向量在另一个向量方向上的正投影的概念；s┓我们学过功的概念，即一个物体在力F的作用下产生位移s（如图）W=

2、F

3、

4、S

5、cosθ其中θ是F与S的夹角F新课引入:功是一个标量，是一个数量，它由力和位移两个向量来确定。这给我们一种启示，能否把“功”看成这两个向量的一种运算的结果呢？力F所做的功W应当怎样计算？以计算力做功为背景，我们引入向量的数量积的概念。力做功的计算，涉及到两个概念：两个向量的夹角向量在轴上的射影1、向量的

6、夹角的概念两个非零向量和，作，与反向OABOA与同向OABB则叫做向量和的夹角．记作与垂直，OAB注意:在两向量的夹角定义中,两向量必须是同起点的特殊情况：怎样找向量的夹角?做一做:如图，等边三角形中，求（1）AB与AC的夹角；（2）AB与BC的夹角。ABC通过平移变成共起点！说明（1）（2）在讨论垂直问题时，规定零向量与任意向量垂直。物理上力所做的功实际上是将力正交分解，只有在位移方向上的力做功．θsF什么是向量的正射影？什么是向量的正射影的数量呢？阅读课本相应了例题,看图回答问题。向量a在l上的正射影是什么？向量a在l上的正射影的数量是什

7、么?坐标呢？怎样表示？a1AaA1O1lxO向量a在向量b上的数量怎样表示已知轴l,如图在，求（1）向量上的正射影的数量ABOB1A1l（2）向量求在上的正射影的数量解：（1）（2）上的数量为在时）当（上的数量为在时）当（上的数量为在时）当（上的数量为在时）当（夹角为与若abbababababa000012041203902301,8

8、

9、,4

10、

11、======qqqqq练一练记作定义叫作向量和的数量积（或内积），,即（1）零向量与任意向量的数量积为0，即（2）这是一种新的运算法则，“.”不能省略不写，a·b不能写成a×b，a×b表示向量的另一种

12、运算．（4）在运用数量积公式解题时,一定要注意向量夹角的取值范围是表示数量而不表示向量,决定其结果有三个量，这是与实数乘法的最大区别。（3）3、向量的数量积的定义说明判断下列命题是否正确()(×)()(×)(×)(×)做一做1.若a=0,则对任意向量b，有a·b=0.2.若a≠0,则对任意非零向量b，有a·b≠0.3.若a≠0,且a·b=0,则b=0.4.若a·b=0，则a=0或b=0.5.对任意的向量a，有a2=│a│2.6.若a≠0,且a·b=a·c,则b=c.a·b=

13、a

14、

15、b

16、7.(×)两非零向量与的数量积是一个实数，不是一个向量，其

17、值可以为正，也可以为负，还可以为零，请说出什么时候为正，什么时候为负，什么时候为零？你能根据正投影的定义解释的几何意义？小组讨论结论当时，它为正值；OABabθ为锐角时，

18、b

19、cos＞0OABabθ为直角时，

20、b

21、cos=0θ为钝角时，

22、b

23、cos＜0BOAab当90°＜≤180°时，它为负值．当=90°时，它为0；当夹角为和180°，结果是什么呢？平面向量数量积a·b的几何意义向量a与b的数量积等于a的长度

24、a

25、与b在a的方向上的正射影的数量

26、b

27、cosθ的积.θBB1OA还有其它说法吗？过A点作OB的垂线，其几何意义怎样表述呢？想一想：由

28、向量数量积的定义，试完成下面问题：0≤(4)练一练：(4)cos=(a·b)/(

29、a

30、

31、b

32、).(3)当a与b同向时,a·b=

33、a

34、

35、b

36、;当a与b反向时,a·b=-

37、a

38、

39、b

40、.特别地,a·a(或写成a2)=

41、a

42、2或

43、a

44、=√a·a设a，b都是非零向量，e是与b方向相同的单位向量，是a与e的夹角,则a⊥b=/2cos=0(1)e·a=a·e=

45、a

46、cos.

47、a

48、

49、b

50、cos=0a·b=0向量a与b共线

51、a·b

52、=

53、a

54、

55、b

56、a·b=

57、a

58、

59、b

60、cos(5)

61、a·b

62、≤

63、a

64、

65、b

66、.(2)a⊥ba·b=0.3、向

67、量数量积的性质例题讲解例1．已知

68、a

69、=5，

70、b

71、=4，，求a·b.解:例2已知a=(1,1),b=(2,0),求a·b。解：

72、a

73、=√2,

74、b

75、=2,θ=45°∴a·b=

76、a

77、

78、b

79、cosθ=√2×2×cos45°=2看谁做的快练习1：练习A,1求练习2：在△ABC中答案：-28例3看谁做的快：练习A,2求向量夹角的方法的夹角与求，，，bababa284

80、

81、4

82、

83、=·==求向量模的方法例4看谁做的快我们学到了什么？课堂小结向量的夹角向量在轴上的正射影向量的数量积的定义，几何意义，性质。共起点向量a与b的数量积等于a的长度

84、a

85、与b在a的方向

86、上的正射影的数量

87、b

88、cosθ的积.数量积的性质（1）e·a=a·e=

89、a

90、cos（2）a⊥ba·b=0(判断两向量垂直的依据)（3）当a与b同向时，a·b=

91、a