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1、第六章函数逼近（曲线拟合）2021/7/18阜师院数科院第六章目录§1最小二乘法原理和多项式拟合§2一般最小二乘拟合2.1线性最小二乘法的一般形式2.2非线性最小二乘拟合§3正交多项式曲线拟合3.1离散正交多项式3.2用离散正交多项式作曲线拟合§4函数的最佳平方逼近§5最佳一致逼近2021/7/18阜师院数科院函数逼近（曲线拟合）概述用简单的计算量小的函数P(x)近似地替代给定的函数f(x)（或者是以离散数据形式给定的函数），以便迅速求出函数值的近似值，是计算数学中最基本的概念和方法，称为函数逼近。通常被逼近的函数一般较复杂，或只知道离散点处的值，难于分析，而逼近函数则比较简单，如选用多项式
2、，有理函数，分段多项式，三角多项式等。2021/7/18阜师院数科院函数逼近（曲线拟合）概述（续）在大量的实验数据(xi,yi)(i=1,2,…,n)中寻找其函数关系y=f(x)的近似函数P(x)，是在实践中常遇到的。上一章介绍的插值方法就是一种逼近，要求在给定的节点处P(x)与f(x)相等（甚至导数值相等），因此在节点附近，逼近效果较好，而在远离节点的地方，由Runge现象知道，有时效果会很差，另一方面，由观测得到的实验数据不可避免地带有误差，甚至是较大的误差，此时要求近似函数P(x)过全部已知点，相当于保留全部数据误差，所以使用插值法不合适。因此，对逼近函数P(x)不必要求过给定的点，即
3、不要求P(xi)=yi(i=1,2,…,n)，只要求P(xi)–yi总体上尽可能小即要求P(x)尽可能反映给定数据点的总体趋势，在某种意义（要求或标准）下与函数最“逼近”。下面先举例说明。2021/7/18阜师院数科院函数逼近举例给定一组实验数据如上，求x,y的函数关系。例1123424681.12.84.97.2ixiyi解先作草图如图6-1所示这些点的分布接近一条直线，因此可设想，y为x的一次函数。设y=a0+a1x，从图中不难看出，无论a0，a1取何值，直线都不可能同时过全部数据点。怎样选取a0，a1才能使直线“最好”地反映数据点的总体趋势？首先要建立好坏的标准。假定a0，a1已经确定
4、，yi*=a0+a1xi(i=1,2,…,n)是由近似函数求得的近似值，它与观测值yi之差ri=yiyi*=yia0a1xi(i=1,2,…,n)称为偏差。显然，偏差的大小可作为衡量近似 函数好坏的标准。偏差向量r=(r1,r2,…,rn)T，yx86422468****图6-12021/7/18阜师院数科院例1（续）（1）使偏差的绝对值之和最小，即:（2）使偏差的最大绝对值达到最小，即:（3）使偏差的平方和最小，即:在离散情况下,也称为曲线拟合的最小二乘法,是实践中常用的一种函数逼近方法。常用的准则有以下三种：准则（1）的提出很自然也合理，但实际使用不方便，按准则（2）求近似函数的方
5、法称为函数的最佳一致逼近按准则（3）确定参数，求近似函数的方法称为最佳平方逼近,ri=yiyi*=yia0a1xi2021/7/18阜师院数科院函数的近似替代，求近似函数称为逼近要求（准则或标准）不一样，逼近的意义不一样，因此，方法不一样，结果也不一样。插值是逼近，满足条件Ln(xi)=yi是在“过给定点”意义下的逼近。要求Ln(xi)-yi总体上尽可能小,满足准则（3）称为最佳平方逼近,在离散情况下,也称为曲线拟合的最小二乘法.2021/7/18阜师院数科院§1最小二乘法原理和多项式拟合一、曲线拟合的最小二乘法基本原理对给定的数据(xi,yi)(i=1,2,…,n)，选取近似函数形式
6、，即在给定的函数类Φ中，求函数(x)Φ，使偏差ri=(xi)yi(i=1,2,…,n)的平方和为最小，即:亦即:从几何上讲，就是求在给定的点x1,x2,…,xn处与点(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)的距离平方和最小的曲线y=(x)。这种求近似函数的方法称为离散数据曲线拟合的最小二乘法，函数(x)称为这组数据的最小二乘拟合函数。通常取Φ为一些较简单函数的集合如低次多项式，指数函数等。例1中取Φ为一次多项式集合。2021/7/18阜师院数科院二、多项式拟合对于给定的一组数据(xi,yi)(i=1,2,…,n)，求一多项式(m7、,1,…,m)使得:其中Φ为不超过m次多项式的集合。这就是数据的多项式拟合，Pm(x)称为这组数据的m次拟合多项式。与求解矛盾线性方程组的最小二乘法的方法相同，由多元函数求极值的必要条件，得方程组:移项得:（紧接下屏）2021/7/18阜师院数科院多项式拟合（续）打开和式即：这是最小二乘拟合多项式的系数ak(k=0,1,…,m)应满足的方程组，称为正规方程组或法方程组。由函数组{1,x,x2,…,xm}的线性
