最佳平方逼近问题.ppt

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1、最佳平方逼近问题：求使回忆§3最佳平方逼近3.1法方程(基本理论)符号:函数类常用的函数类:范数：——均方误差本节主要内容：1.基本理论；2.用多项式作最佳平方逼近(计算方法)近似函数在整个区间上逼近原函数最好讨论的问题：讨论最佳平方逼近函数的存在性，唯一性及计算方法。原问题转化为求数分知识,它有稳定解存在性，唯一性均方误差是a0,a1,…,an的二次函数最佳平方逼近问题：求使§3最佳平方逼近3.1法方程(基本理论)近似函数在整个区间上逼近原函数最好讨论的问题：讨论最佳平方逼近函数的存在性，唯一性及计算方法。存在性，唯一性原问

2、题转化为求数分知识,它有稳定解函数类解法（1）必要条件:结论:逼近函数，则——法方程组（b）误差函数与基函数正交，即由（3.4）式有证有唯一解(是否是最优的)？（2）充分性:证明：事实上,(3)均方误差总结上述讨论则有定理6非负定理6（最佳平方逼近）(2)函数类3.2用多项式作最佳平方逼近(计算方法)方法（步骤）（1）求内积例（2）解法方程组当n很大时，它的精度某个元素有微小变化时,引起解的变化很大,且当n越大时，病态愈说明:即上式中矩阵G称为Hilbert矩阵,是一个著名病态矩阵,即当便由舍入误差影响而迅速恶化。补救的办法就

3、是取Hn中正交基。严重。改进:用正交多项式作最佳平方逼近.3.3用正交多项式作最佳平方逼近方法（步骤）：（1）求内积：（2）解法方程组（3）均方误差（3）均方误差优点：用正交多项式求最佳平方逼近多项式，避免解法方程组。在[-1，1]上3次最佳平方逼近多项式。例4解：举例1、用勒让德(Legendre)多项式作最佳平方逼近所以由表3-1及P101(2.8)式：表3-12、由切比雪夫(Chebyshev)多项式作最佳平方逼近(3)均方误差:(3)均方误差:例5用Chebyshev多项式在[-1，1]上3次最佳平方逼近多项式.说明:

4、（2）若取基为{1,x}所求多项式可能是常数，基为{1,x,x2}所求以t为变量用勒让德或切比雪夫多项式作最佳平方逼近。（1）若区间不是[0,1]而是[a,b]可做变换多项式可能是一次多项式。