数值分析最佳平方逼近

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1、函数逼近主要讨论给定，求它的最佳逼近多项式的问题.3.1.0最佳逼近若(次数不超过n次多项式),使误差则称是在上的最佳逼近多项式.若则称相应的为最佳逼近函数.通常将范数取为或1若取，即（1.18）则称是在上的最优一致逼近多项式.求就是求上使最大误差最小的多项式.2若取，即则称是在上的最佳平方逼近多项式.（1.19）若是上的一个列表函数，在上给出，要求使则称为的最小二乘拟合.（1.20）3定义5（2.1）则称与在上带权正交.若上的权函数且满足为4若函数族满足关系则称是上带权的正交函数族.若，则称之为标准正交函数族.（2.2）三角函数族就是在区间上

2、的正交函数族.5利用上述递推公式就可推出勒让德多项式P59-616切比雪夫多项式P61-64当权函数，区间为时，由序列正交化得到的正交多项式就是切比雪夫(Chebyshev)多项式.它可表示为（2.10）若令，则73.3.1最佳平方逼近及其计算对及中的一个子集若存在，使（3.1）则称是在子集中的最佳平方逼近函数.8由（3.1）可知该问题等价于求多元函数（3.2）的最小值.是关于的多元函数，即利用多元函数求极值的必要条件（3.1）9于是有（3.3）(3.3)式是关于的线性方程组,称为法方程.由于线性无关，故于是方程组（3.3）有唯一解从而得到1

3、0此时若取中求次最佳平方逼近多项式则要在11记（3.7）的解即为所求.则若用表示对应的矩阵，（3.6）称为希尔伯特(Hilbert)矩阵.12例6设解得方程组求上的一次最佳平方逼近多项式.利用（3.7），得（3.7）13解之故平方误差最大误差143.3.2用正交函数族作最佳平方逼近设若是满足条件(2.2)的正交函数族，而故法方程（3.3）的系数矩阵则（3.3）（2.2）15用做基,求最佳平方逼近多项式,当n很大时,系数矩阵(3.6)是高度病态,因此直接求解法解方程是相当困难的,通常采用正交多项式做基.用正交函数组去平方逼近函数f(x).

4、16求在上用Legendre多项式作f(x)的三次最佳平方逼近多项式.例7解先计算17由(3.14)得代入(3.13)得三次最佳平方逼近多项式（3.14）（3.13）18最大误差19练习：20